高数Ⅰ（2026-10-12）

一、 无穷小的比较（续）

设在同一极限过程 $x\to x_0$ 中，$f(x)\to0$、$g(x)\to0$，且所涉及的商在相应去心邻域内有定义。

① 高阶无穷小：

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0 \quad\Longrightarrow\quad f(x)=o(g(x)).$$

② 同阶无穷小：

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=c\ne0 \quad\Longrightarrow\quad f(x)\text{ 与 }g(x)\text{ 是同阶无穷小}.$$

这里 $c$ 是有限的非零常数。

③ 等价无穷小：

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1 \quad\Longrightarrow\quad f(x)\sim g(x)\quad(x\to x_0).$$

④ $k$ 阶无穷小与主部：若 $k>0$，且

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{(x-x_0)^k}=c\ne0,$$

则称 $f(x)$ 是关于 $x-x_0$ 的 $k$ 阶无穷小，主部为 $c(x-x_0)^k$。幂的写法须在所讨论的实数范围内有意义。

补充理解：上述主部关系也可写成

$$f(x)=c(x-x_0)^k+o((x-x_0)^k).$$

二、 小 $o$ 记号与运算

1. 小 $o$ 不是一个固定函数

板书强调：$f(x)=o(g(x))$ 表示一种数量级关系，不能把 $o(g(x))$ 当成唯一确定的函数，再把这个记号反过来理解为普通函数等式。

例如，当 $x\to0$ 时，$x^3=o(x^2)$、$x^4=o(x^2)$；两个不同函数都可以用 $o(x^2)$ 表示。一个式子中不同位置的 $o(x^2)$ 也可能表示不同函数。

2. 相加：保留较低的幂次

当 $x\to0$ 时，

$$o(x^2)+o(x^3)=o(x^2).$$

板书推导：设 $u(x)=o(x^2)$、$v(x)=o(x^3)$，则

$$\frac{u(x)+v(x)}{x^2} =\frac{u(x)}{x^2}+\frac{v(x)}{x^3}\,x\to0+0=0.$$

一般地，若 $n>m>0$，则

$$o(x^n)+o(x^m)=o(x^m)\qquad(x\to0).$$

因为 $u=o(x^n)$ 时，$u/x^m=(u/x^n)x^{n-m}\to0$，而另一个 $o(x^m)$ 除以 $x^m$ 也趋于零。

3. 幂次较高的小 $o$ 也是幂次较低的小 $o$

若 $m>n>0$，则

$$o(x^m)=o(x^n)\qquad(x\to0).$$

证明：对任意 $u(x)=o(x^m)$，

$$\frac{u(x)}{x^n}=\frac{u(x)}{x^m}x^{m-n}\to0.$$

因此每个 $o(x^m)$ 的函数都是 $o(x^n)$ 的函数；这个写法表示单向的数量级归属，不能反过来使用。

4. 乘幂与常数因子

在幂有定义的范围内，当 $x\to0$ 时，

$$x^m\,o(x^n)=o(x^{m+n}),\qquad C\,o(x^n)=o(x^n),\qquad o(Cx^n)=o(x^n)\quad(C\ne0).$$

第一式由 $x^mu(x)/x^{m+n}=u(x)/x^n\to0$ 得到；后两式分别将比值乘以常数、除以非零常数即可。第一式中的幂次应与当前极限过程和定义域相容。

补充：课堂式子的使用范围：本节均在 $x\to0$ 下讨论。在 $x\to\infty$ 时不能照搬“保留较低幂次”等规则。

三、 常用等价无穷小

以下均指 $x\to0$，三角函数的角使用弧度。

类别	等价无穷小
三角函数	$\sin x\sim x$，$\tan x\sim x$
余弦差	$1-\cos x\sim\dfrac{x^2}{2}$
反三角函数	$\arcsin x\sim x$，$\arctan x\sim x$
对数函数	$\ln(1+x)\sim x$，$\log_a(1+x)\sim\dfrac{x}{\ln a}$
指数函数	$e^x-1\sim x$，$a^x-1\sim x\ln a$
幂函数	$(1+x)^\alpha-1\sim\alpha x$
根式	$\sqrt[m]{1+x}-1\sim\dfrac{x}{m}$

条件提醒：对数和指数中的 $a>0,a\ne1$；幂函数式中 $\alpha\ne0$，且底数 $1+x>0$；根式中 $m\in\mathbb N_+$。

1. 从重要极限得到等价式

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 \quad\Longrightarrow\quad\sin x\sim x.$$

$$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2/2}=1 \quad\Longrightarrow\quad1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}.$$

对数和指数换底时，要保留常数因子：

$$\log_a(1+x)=\frac{\ln(1+x)}{\ln a},\qquad a^x-1=e^{x\ln a}-1\sim x\ln a.$$

2. 把 $x$ 换成趋于零的函数

若 $\alpha(x)\to0$，则在相应定义域内，

$$\sin\alpha(x)\sim\alpha(x),\qquad \tan\alpha(x)\sim\alpha(x),$$

$$\arcsin\alpha(x)\sim\alpha(x),\qquad \arctan\alpha(x)\sim\alpha(x),$$

$$1-\cos\alpha(x)\sim\frac{\alpha(x)^2}{2},\qquad e^{\alpha(x)}-1\sim\alpha(x),$$

$$\ln(1+\alpha(x))\sim\alpha(x),\qquad (1+\alpha(x))^k-1\sim k\alpha(x)\quad(k\ne0),$$

$$\sqrt[m]{1+\alpha(x)}-1\sim\frac{\alpha(x)}m.$$

使用这些比值关系时，应保证相应分母在所讨论的去心邻域内非零。

四、 等价无穷小替换定理

若 $f(x)\sim g(x)$（$x\to x_0$），相关商有定义，且右侧极限存在，则

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)\alpha(x)}{\beta(x)} =\lim_{x\to x_0}\frac{g(x)\alpha(x)}{\beta(x)},$$

$$\lim_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{f(x)\beta(x)} =\lim_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{g(x)\beta(x)}.$$

板书证明：

$$\frac{f(x)\alpha(x)}{\beta(x)} =\frac{f(x)}{g(x)}\cdot\frac{g(x)\alpha(x)}{\beta(x)}.$$

第一因子趋于 $1$，故不改变第二因子的极限。分母替换时写成

$$\frac{\alpha(x)}{f(x)\beta(x)} =\frac{g(x)}{f(x)}\cdot\frac{\alpha(x)}{g(x)\beta(x)},$$

其中 $g(x)/f(x)\to1$，同理得到结论。

推论：若 $f(x)\to C\ne0$，则在乘除结构中可将该因子换成 $C$：

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)\alpha(x)}{\beta(x)} =\lim_{x\to x_0}\frac{C\alpha(x)}{\beta(x)},$$

仍以相关商有定义、右侧极限存在为前提。

应用原则：替换乘除结构中的因子；遇到加减结构，先整理，再判断能否替换。

五、 典型例题：等价替换与相减抵消

例1：三角函数之商

设 $a,b\in\mathbb R$，$b\ne0$，求

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{\tan bx}.$$

当 $a\ne0$ 时，$\sin ax\sim ax$、$\tan bx\sim bx$，所以

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{\tan bx} =\lim_{x\to0}\frac{ax}{bx}=\frac ab.$$

若 $a=0$，原分子恒为零，结果也为 $a/b=0$。

例2：余弦差与两个一阶无穷小的乘积

$$\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{\arctan x\,(e^x-1)} &=\lim_{x\to0}\frac{x^2/2}{x\cdot x}\\ &=\frac12. \end{aligned}$$

例3：$\tan x-\sin x$ 不能直接逐项替换

求

$$A=\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}.$$

❌ 错误做法一：分别用 $x$ 替换 $\tan x$、$\sin x$，得到 $(x-x)/x^3=0$。这样会消去共同的一阶主部，丢掉真正决定极限的三阶项。

❌ 错误做法二：拆成两个极限之差。实际上

$$\frac{\tan x}{x^3}\sim\frac1{x^2}\to+\infty,\qquad \frac{\sin x}{x^3}\sim\frac1{x^2}\to+\infty,$$

不能将原极限写成 $+\infty-(+\infty)$ 后进行普通减法。

正确解法（按板书因式分解）：利用 $\sin x=\tan x\cos x$，

$$\begin{aligned} A&=\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\tan x\cos x}{x^3}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{\tan x(1-\cos x)}{x^3}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{x\cdot x^2/2}{x^3} =\frac12. \end{aligned}$$

配图说明：左图显示两条曲线在原点附近十分接近；右图显示差值除以 $x^3$ 后趋于 $1/2$，而不是 $0$。

例4：根式之差，先加减 $1$

求

$$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt[3]{1+2x^2}}{\ln(1+3x)}.$$

先将分子改写为

$$(\sqrt{1+x}-1)-(\sqrt[3]{1+2x^2}-1).$$

分母 $\ln(1+3x)\sim3x$，而分成两项后，每项的极限都存在，所以

$$\begin{aligned} &\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt[3]{1+2x^2}}{\ln(1+3x)}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{3x} -\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{1+2x^2}-1}{3x}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{x/2}{3x} -\lim_{x\to0}\frac{2x^2/3}{3x} =\frac16-0=\frac16. \end{aligned}$$

注意：这里不是在差式中直接逐项替换，而是先拆成两个各自有极限的商，再分别替换。

例5：对数相减，先合并成一个对数

求

$$\lim_{x\to0} \frac{\ln(\sin^2x+e^x)-x}{\ln(e^{2x}-x^2)-2x}.$$

原式在 $0$ 附近有定义。利用 $x=\ln e^x$、$2x=\ln e^{2x}$，得到

$$\begin{aligned} &\lim_{x\to0} \frac{\ln(\sin^2x+e^x)-\ln e^x}{\ln(e^{2x}-x^2)-\ln e^{2x}}\\ &=\lim_{x\to0} \frac{\ln(1+\sin^2x/e^x)}{\ln(1-x^2/e^{2x})}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{\sin^2x/e^x}{-x^2/e^{2x}}\\ &=-\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2e^x=-1. \end{aligned}$$

六、 有界量乘无穷小

板书重点：有界量 $\times$ 无穷小 $=$ 无穷小。

若 $\alpha(x)\to0$，$h(x)$ 在相应极限过程下有界，即最终 $|h(x)|\le M$，则

$$|h(x)\alpha(x)|\le M|\alpha(x)|\to0.$$

由夹逼定理，$h(x)\alpha(x)\to0$；不要求 $h(x)$ 本身有极限。

① 因为 $|\sin x|\le1$，

$$\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0.$$

② 因为 $-\pi/2<\arctan x<\pi/2$，

$$\lim_{x\to\infty}\frac{\arctan x}{x}=0.$$

这里 $x\to\infty$ 可指 $x\to+\infty$ 或 $x\to-\infty$，两个方向都成立。

与 $x\to0$ 对比：

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\arctan x}{x}=1.$$

同一个表达式，趋近过程不同，极限也可能不同；等价无穷小公式不能脱离趋近过程使用。

配图说明：两个比值在 $x\to0$ 时都趋于 $1$，在 $x\to+\infty$ 时都趋于 $0$；振荡的 $\sin x/x$ 由包络 $\pm1/x$ 控制。

七、 幂指函数极限

1. 先把幂指函数改写成指数形式

当 $f(x)>0$ 时，

$$f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}.$$

板书中的换底关系为

$$a^b=c^{\log_c(a^b)}=c^{b\log_c a} \quad(a>0,\ c>0,\ c\ne1).$$

若 $f(x)\to1$，则 $f(x)-1\to0$，于是

$$\ln f(x)=\ln[1+(f(x)-1)]\sim f(x)-1.$$

因此，若 $g(x)(f(x)-1)\to L$，可先在指数中用等价关系求出

$$g(x)\ln f(x)\to L,$$

再由指数函数的连续性得到

$$\lim f(x)^{g(x)}=e^L.$$

注意：板书将这一步简写为把 $e^{g\ln f}$ 的极限转化为 $e^{g(f-1)}$ 的极限；两个函数不是恒等的，替换是在指数的极限计算中进行的。

不定式提醒：$1^\infty$、$0^0$、$\infty^0$ 都不能直接按普通幂运算确定极限。课堂本处主要处理 $1^\infty$ 型。

2. 底数、指数都有有限极限

若

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=A>0,\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=B\in\mathbb R,$$

则

$$\lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)}=A^B.$$

推导：局部保号性使底数最终为正，$\ln f(x)\to\ln A$，故 $g(x)\ln f(x)\to B\ln A$，取指数得到 $e^{B\ln A}=A^B$。

例1：求 $(\cos x)^x-1$ 的阶数与主部

当 $x\to0$ 时，求 $(\cos x)^x-1$ 是几阶无穷小及其主部。

在原点附近 $\cos x>0$，先写成

$$(\cos x)^x-1=e^{x\ln\cos x}-1.$$

因为 $x\ln\cos x\to0$，依次使用 $e^u-1\sim u$、$\ln(1+u)\sim u$ 和 $\cos x-1\sim-x^2/2$，得到

$$(\cos x)^x-1\sim x\ln\cos x \sim x(\cos x-1)\sim-\frac{x^3}{2}.$$

也可按板书设阶数为 $k$，计算

$$\lim_{x\to0}\frac{(\cos x)^x-1}{x^k} =-\frac12\lim_{x\to0}\frac1{x^{k-3}}.$$

取 $k=3$ 时，比值极限为 $-1/2$，故为 三阶无穷小，主部为 $-x^3/2$。

例2：底数趋于 $1$，指数趋于无穷

$$\begin{aligned} \lim_{x\to0}(1+\arcsin2x)^{\cot x} &=\lim_{x\to0}e^{\cot x\ln(1+\arcsin2x)}\\ &=e^{\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\arcsin2x}{\tan x}}\\ &=e^{\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2x}{x}} =e^2. \end{aligned}$$

底数在 $0$ 附近为正；其中 $\arcsin2x\to0$，所以可用 $\ln(1+\arcsin2x)\sim\arcsin2x$。

例3：$\displaystyle\lim_{x\to\pi/2}(\sin x)^{\tan x}$

板书换元：令 $t=\pi/2-x$，则 $t\to0$，$\sin x=\cos t$、$\tan x=\cot t$。

$$\begin{aligned} \lim_{x\to\pi/2}(\sin x)^{\tan x} &=\lim_{t\to0}(\cos t)^{\cot t}\\ &=\lim_{t\to0}e^{\cot t\ln\cos t}. \end{aligned}$$

指数满足

$$\cot t\ln\cos t =\frac{\ln[1+(\cos t-1)]}{\tan t} \sim\frac{\cos t-1}{t} \sim\frac{-t^2/2}{t}=-\frac t2\to0.$$

因此原极限为 $e^0=1$。原式在 $x=\pi/2$ 无定义，但这不影响极限。

配图说明：左图中比值趋于 $-1/2$；右图中 $(\sin x)^{\tan x}$ 从两侧趋于 $1$。计算前均先检查底数为正。

八、 含参数的无穷远根式极限

例：设

$$\lim_{x\to+\infty}\left(3x-\sqrt{ax^2-bx+1}\right)=2,$$

求 $a,b$。

解（按板书有理化）：

$$3x-\sqrt{ax^2-bx+1} =\frac{(9-a)x^2+bx-1}{3x+\sqrt{ax^2-bx+1}}.$$

补全板书的参数判断：若 $a<0$，根号内的式子最终为负，不能在实数范围内讨论 $x\to+\infty$。因此 $a\ge0$。由于原式有有限极限，把它除以 $x$ 后极限为零，而

$$\lim_{x\to+\infty}\left(3-\sqrt{a-\frac bx+\frac1{x^2}}\right)=3-\sqrt a,$$

故 $3-\sqrt a=0$，即 $a=9$。这就是板书中二次项系数必须抵消的原因。

代入并将分子、分母同除以 $x$（此处 $x>0$），

$$\begin{aligned} 2&=\lim_{x\to+\infty}\frac{bx-1}{3x+\sqrt{9x^2-bx+1}}\\ &=\lim_{x\to+\infty}\frac{b-1/x}{3+\sqrt{9-b/x+1/x^2}} =\frac b6. \end{aligned}$$

于是 $a=9,b=12$。代回后根号内的二次多项式在充分大的 $x$ 时为正，所得极限确为 $2$。

九、 连续性（本次课堂开始）

1. 点处连续

若函数 $f$ 在 $x_0$ 有定义，且

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0),$$

则称 $f$ 在 $x_0$ 处连续。

记忆要点：函数值存在、极限存在，且极限等于函数值。

2. 区间上的连续函数

若 $f$ 在区间 $I$ 上的每一点都连续，则称 $f$ 在 $I$ 上连续，记作

$$f\in C(I).$$

补充端点约定：若区间包含端点，则左端点要求右连续，右端点要求左连续；闭区间也常记 $f\in C[a,b]$。

3. 左连续、右连续

$$\text{右连续：}\quad\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0),$$

$$\text{左连续：}\quad\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0).$$

在 $x_0$ 是定义域内点、两侧均可趋近时，

$$f\text{ 在 }x_0\text{ 连续} \iff f\text{ 在 }x_0\text{ 左连续且右连续}.$$

配图说明：连续性既看附近的极限，也看该点的实际函数值。此图用于对照理解；间断点的系统分类不作为本次板书已讲内容。