高数Ⅰ（2026-9-28）

一、数列极限的计算方法

1. 夹逼定理（求和式极限）

例1：求 $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{3n^2+2n+1} + \frac{2}{3n^2+2n+2} + \dots + \frac{n}{3n^2+2n+n} \right)$

解析：令原式为 $x_n$ $x_{n}$ 。利用放缩法，将分母统一放大或缩小。
- 分母全部取最大（ $3n^2+2n+n$ ），则和式最小： $\frac{1+2+\dots+n}{3n^2+2n+n} \le x_n$
- 分母全部取最小（ $3n^2+2n+1$ ），则和式最大： $x_n \le \frac{1+2+\dots+n}{3n^2+2n+1}$
化简两端： $\frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{3n^2+2n+n} = \frac{\frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n}{3n^2+3n}$ 与 $\frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{3n^2+2n+1}$ 。
求极限： $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{3n^2+2n+n} = \frac{1}{6}$ ， $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{3n^2+2n+1} = \frac{1}{6}$ 。
结论：由夹逼定理，原极限 $= \frac{1}{6}$ 。
（纠正：板书过程正确，但极限系数为 $\frac{1}{2}/3 = \frac{1}{6}$ ）

两个求和极限的夹逼

配图说明：右图对应本节求和式，上下界共同趋于 1/6。

2. 裂项相消法

例2：求 $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1\cdot3} + \frac{1}{3\cdot5} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \right)$

解析：利用裂项公式 $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$ 。
展开：原式 $= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left[ \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) \right]$
化简： $= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2}$ 。

裂项和的收敛

配图说明：部分和从下方趋于 1/2。

3. Stolz 定理

定理：设 $\{y_n\}$ 严格单调递增，且 $\lim_{n \to \infty} y_n = \infty$ ，若 $\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1} - x_n}{y_{n+1} - y_n} = A$ ，则 $\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = A$ 。
前一项形式：在同样的条件下，若 $\lim_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=A$ ，则 $\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=A$ 。注意不要交换分子、分母。
独立性质（下标平移，不是 Stolz 定理的推论）： $\lim_{n \to \infty} x_n = A \iff \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = A$ 。
Stolz 定理应用 1：求 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} \right)$ 。
- 令 $x_n = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$ ， $y_n = n$ 。
- 由 Stolz 定理： $\lim_{n \to \infty} \frac{x_n - x_{n-1}}{y_n - y_{n-1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1/n}{1} = 0$ 。
- 所以原极限 $= 0$ 。
Stolz 定理应用 2：求 $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{a^n} \ (a > 1)$ 。
- 由 Stolz 定理： $\lim_{n \to \infty} \frac{n - (n-1)}{a^n - a^{n-1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{a^{n-1}(a-1)} = 0$ 。

典型数列极限与增长比较

配图说明：右图展示 Stolz 应用中的 n/2^n 趋于零。

二、极限存在准则与重要极限

1. 单调有界准则

定理：任何单调递增有上界（或单调递减有下界）的数列必有极限。

2. 重要极限 $e$ 的证明

例3：证明 $x_n = (1 + \frac{1}{n})^n$ $x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}$ 收敛。
- 证明单调递增：利用 A-G 不等式（算术-几何平均值不等式）。
  
  $x_n = \underbrace{(1+\frac{1}{n}) \cdot (1+\frac{1}{n}) \dots (1+\frac{1}{n})}_{n\text{个}} \cdot 1 \le \left( \frac{n(1+\frac{1}{n}) + 1}{n+1} \right)^{n+1} = \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{n+1} = \left( 1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1} = x_{n+1}$
  
  所以 $x_n \uparrow$ 。
- 证明有上界：
  $\frac{x_n}{4}=(1+\frac1n)^n\cdot\frac12\cdot\frac12\le\left(\frac{n(1+\frac1n)+\frac12+\frac12}{n+2}\right)^{n+2}=1$ ，所以 $x_n\le4$ 。
  所以 $\{x_n\}$ 有上界。
- 结论：由单调有界定理， $\{x_n\}$ 收敛。记其极限为 $e$ （即 $e = \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n = 2.71828\dots$ ，属于 $1^\infty$ 型极限）。
- 补充： $\log_e a = \ln a$ 。

e 的递增与递减逼近

配图说明：递增有界保证下方数列收敛；上方数列也趋于 e。

3. 递推数列求极限（构造辅助数列法）

例4：设 $a_1 = \sqrt{7}$ ， $a_2 = \sqrt{7 - \sqrt{7}}$ ， $\dots$ ， $a_n = \sqrt{7 - \sqrt{7 + \dots + \sqrt{7}}}$ ，求 $\lim_{n \to \infty} a_n$ 。

分析：直接看 $a_n$ 无法判断单调性，构造辅助数列 $b_n$ 。
令 $b_1 = \sqrt{7}$ ， $b_2 = \sqrt{7 + \sqrt{7}}$ ， $\dots$ ， $b_n = \sqrt{7 + b_{n-1}}$ 。则 $a_n = \sqrt{7 - b_{n-1}}$ 。
先证 $\{b_n\}$ 收敛：
- 单调性： $b_2>b_1$ 。若 $b_k\ge b_{k-1}$ ，由平方根函数递增，得 $b_{k+1}=\sqrt{7+b_k}\ge\sqrt{7+b_{k-1}}=b_k$ ；归纳可得 $b_n\uparrow$ 。关系 $a_n=\sqrt{7-b_{n-1}}$ 适用于 $n\ge2$ 。
- 有界性：用数学归纳法。 $b_1 = \sqrt{7} < \frac{1+\sqrt{29}}{2}$ 。假设 $b_k < \frac{1+\sqrt{29}}{2}$ ，则 $b_{k+1} = \sqrt{7 + b_k} < \sqrt{7 + \frac{1+\sqrt{29}}{2}} = \sqrt{\frac{15+\sqrt{29}}{2}} = \frac{1+\sqrt{29}}{2}$ 。
- 因此 $\{b_n\}$ 收敛，设极限为 $B$ 。由 $b_n = \sqrt{7 + b_{n-1}}$ 得 $B = \sqrt{7+B} \implies B^2 - B - 7 = 0$ ，解得 $B = \frac{1+\sqrt{29}}{2}$ （舍负）。
求 $a_n$ 的极限： $\lim_{n \to \infty} a_n = \sqrt{7 - B} = \sqrt{7 - \frac{1+\sqrt{29}}{2}} = \sqrt{\frac{13-\sqrt{29}}{2}}$ 。

三个单调递推数列

配图说明：左图对应辅助数列 b_n；原数列 a_n 再由它连续变换得到。

4. 递推数列求极限（A-G不等式及因式分解法）

例5：设 $x_1 = 1$ ， $x_{n+1} = \sqrt{x_n(3-x_n)}$ ，求 $\lim_{n \to \infty} x_n$ 。

证明有界：由 A-G 不等式， $x_{n+1} = \sqrt{x_n(3-x_n)} \le \frac{x_n + (3-x_n)}{2} = \frac{3}{2}$ 。且 $x_n > 0$ （归纳法），所以 $0 < x_n \le \frac{3}{2}$ 。
证明单调递增：
$x_{n+1} - x_n = \sqrt{x_n(3-x_n)} - x_n = \frac{x_n(3-x_n) - x_n^2}{\sqrt{x_n(3-x_n)} + x_n} = \frac{2x_n(\frac{3}{2} - x_n)}{\sqrt{x_n(3-x_n)} + x_n} \ge 0$ 。
所以 $x_n \uparrow$ 。
求极限：设 $\lim_{n \to \infty} x_n = A$ 。由 $x_{n+1} = \sqrt{x_n(3-x_n)}$ 得 $A = \sqrt{A(3-A)} \implies A^2 = 3A - A^2 \implies 2A^2 - 3A = 0$ ，因为 $x_n$ 递增且 $x_1=1$ ，所以 $A\ge1$ ，排除 $A=0$ ，得到 $A=\frac32$ 。仅由每项正不能排除极限为零。

例6：设 $a_1 = \frac{c}{2}$ ， $a_{n+1} = \frac{c}{2} + \frac{a_n^2}{2}$ （ $c \in (0,1]$ ），求 $\lim_{n \to \infty} a_n$ 。

单调性： $a_{n+1} - a_n = \left( \frac{c}{2} + \frac{a_n^2}{2} \right) - \left( \frac{c}{2} + \frac{a_{n-1}^2}{2} \right) = \frac{a_n + a_{n-1}}{2} (a_n - a_{n-1})$ 。
由于 $a_1 = \frac{c}{2} > 0$ ， $a_2 = \frac{c}{2} + \frac{c^2}{8} > a_1$ ，所以 $a_2 - a_1 > 0$ 。由上式递推可知 $a_{n+1} - a_n > 0$ ，数列单调递增。
有界性：由 $a_1 < 1$ ，假设 $a_k < 1$ ，则 $a_{k+1} = \frac{c}{2} + \frac{a_k^2}{2} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ 。所以 $a_n < 1$ 。
求极限：设极限为 $A$ ， $A = \frac{c}{2} + \frac{A^2}{2} \implies A^2 - 2A + c = 0 \implies A = 1 \pm \sqrt{1-c}$ 。由每项 $a_n<1$ 得 $A\le1$ 。当 $0<c<1$ 时排除大于 $1$ 的根，取 $A=1-\sqrt{1-c}$ ；当 $c=1$ 时两根合并为 $A=1$ 。

三个单调递推数列

配图说明：中图对应例 5，右图取例 6 的 c=0.8 作示意。

三、子数列与收敛性（归并性定理）

1. 定义

从原数列 $\{a_n\}$ 中按原顺序任意抽取无限多项，得到子数列 $\{a_{n_k}\}$ 。
性质： $n_1 < n_2 < \dots < n_k < \dots$ ，且 $n_k \ge k$ 。

2. 归并性定理

定理：数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $A \iff$ 其任意子列 $\{a_{n_k}\}$ 都收敛于 $A$ 。
推论：若存在两个子列收敛于不同的极限，则原数列发散（常用来证明数列发散）。
例7：证明 $x_n = (-1)^{n-1}$ $x_{n} = (- 1)^{n - 1}$ 发散。
- 取子列 $x_{2n-1} = 1 \to 1$ ， $x_{2n} = -1 \to -1$ 。
- 两者极限不相等，故原数列发散。

子列的不同极限与共同极限

配图说明：左图的奇、偶子列极限不同，因此原数列发散。

3. 利用子列求递推数列极限

例8：设 $x_1 = \sqrt{a} \ (a>1)$ ， $x_{n+1} = \frac{a+x_n}{1+x_n}$ ，求 $\lim_{n \to \infty} x_n$ 。

直接解法： $x_1=\sqrt a$ 已是递推映射的固定点，因为 $\frac{a+\sqrt a}{1+\sqrt a}=\sqrt a$ 。归纳得 $x_n\equiv\sqrt a$ ，故极限为 $\sqrt a$ 。
注意：这是按当前题面得到的结论。若原题初值不同，需要另行证明收敛，不能只解固定点方程。

例9：设 $x_1 = 1$ ， $x_{n+1} = \frac{1}{1+x_n}$ ，求 $\lim_{n \to \infty} x_n$ 。

设极限为 $A$ ， $A = \frac{1}{1+A} \implies A^2 + A - 1 = 0 \implies A = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ 。
收敛性证明（压缩映射思想）：由 $x_1=1$ 及递推式归纳得 $x_n>0$ ，所以 $1+x_{n-1}\ge1$ 。令 $A=\frac{\sqrt5-1}{2}$ ，则 $1-A=A^2$ ，以下计算适用于 $n\ge2$ 。
$\left| x_n - A \right| = \left| \frac{1}{1+x_{n-1}} - A \right| = \left| \frac{1 - A - A x_{n-1}}{1+x_{n-1}} \right| = \left| \frac{-A(x_{n-1} - A)}{1+x_{n-1}} \right| \le \frac{\sqrt{5}-1}{2} \left| x_{n-1} - A \right|$ 。
递推可得 $\left| x_n - A \right| \le \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)^{n-1} \left| x_1 - A \right| \to 0$ （因为 $0 < \frac{\sqrt{5}-1}{2} < 1$ ）。
故 $\lim_{n \to \infty} x_n = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 。

子列的不同极限与共同极限

配图说明：右图的奇、偶子列共同趋向黄金比例的倒数。

四、区间套定理

定理（区间套定理）：若闭区间列 $\{ [a_n, b_n] \}$ 满足：
① 嵌套性： $[a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset \dots \supset [a_n, b_n] \supset \dots$
② 长度趋于零： $\lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0$
则存在唯一的 $\xi \in \mathbb{R}$ ，使 $\xi \in [a_n, b_n]$ （ $n=1,2,\dots$ ），且 $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = \xi$ 。

几何意义：数轴上套着不断缩短的闭区间，最终会“套”住唯一的实数点 $\xi$ 。它是实数完备性的重要体现。

闭区间套锁定唯一点

配图说明：端点为实心，表示闭区间；长度趋于零是唯一性的关键。

五、函数极限的定义

1. 定义（ $\epsilon - \delta$ 语言）

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义。若存在常数 $A$ ， $\forall \epsilon > 0$ ， $\exists \delta > 0$ ，当 $0 < |x - x_0| < \delta$ （或记为 $x \in \mathring{U}(x_0, \delta)$ ）时，有 $|f(x) - A| < \epsilon$ ，则称 $A$ 为当 $x \to x_0$ 时 $f(x)$ 的极限，记作：

$\lim_{x \to x_0} f(x) = A \quad \text{或} \quad f(x) \to A \ (x \to x_0)$

2. 定义的深度解析与注意事项

几何意义：任意给定一个横向带形区域 $(A-\epsilon, A+\epsilon)$ ，总能在 $x$ 轴上找到 $x_0$ 的一个去心邻域 $(x_0-\delta, x_0+\delta)$ ，使得该邻域内的所有函数图像都落在这个带形区域内。即： $A-\epsilon < f(x) < A+\epsilon$ 。
两个关键点：
① $\delta = \delta(\epsilon)$ ： $\delta$ 是根据 $\epsilon$ 确定的， $\epsilon$ 越小， $\delta$ 通常也越小。
② $\delta$ 不唯一：若某 $\delta$ 满足条件，则比它小的任何正数也同样满足条件。
函数在某点的极限与函数在该点是否有定义、以及在该点的函数值是多少完全无关，仅与去心邻域内的值有关。