高数Ⅰ（2026-9-23）

一、 数列极限的核心性质

1. 有界性

• 定理：若数列 $\{x_n\}$ 收敛，则 $\{x_n\}$ 一定有界。
• 证明思路（$\epsilon - N$ 语言）：
  • 设 $\lim_{n \to \infty} x_n = A$。取 $\epsilon_0 = 1$，则 $\exists N \in \mathbb{N}$，当 $n > N$ 时，有 $|x_n - A| < 1$。
  • 利用三角不等式放缩：$|x_n| - |A| \le |x_n - A| < 1 \implies |x_n| < |A| + 1$。
  • 取 $M = \max\{|x_1|, |x_2|, \dots, |x_N|, |A|+1\}$，则对所有的 $n$，都有 $|x_n| \le M$。得证。

配图说明：左图辅助有界性，右图辅助下一节的保号性。

2. 保号性

• 定理：若 $\lim_{n \to \infty} x_n = A > 0$（或 $A < 0$），则 $\exists N \in \mathbb{N}$，当 $n > N$ 时，$x_n > 0$（或 $x_n < 0$）。
• 几何直观：数轴上的点 $x_n$ 最终会落入 $A$ 的邻域 $(A-\epsilon, A+\epsilon)$ 中。只要取 $\epsilon < A$（例如取 $\epsilon = A/2$），这个邻域就完全位于正半轴。

3. 不等式性

• 定理：设 $\lim_{n \to \infty} x_n = A, \lim_{n \to \infty} y_n = B$，且 $A < B$，则 $\exists N \in \mathbb{N}$，当 $n > N$ 时，$x_n < y_n$。
• 证明思路：取 $\epsilon < \frac{B-A}{2}$，则有 $x_n < A + \epsilon < B - \epsilon < y_n$。
• ⚠️ 重要推论：若当 $n > N$ 时 $x_n \le y_n$，则 $\lim_{n \to \infty} x_n \le \lim_{n \to \infty} y_n$。（注意：此处极限只能取 $\le$，即使原数列严格小于，极限也可能相等。 板书右下角给了一个经典例子：$\frac{1}{n} < \frac{2}{n}$，但极限均为 0）。

配图说明：严格不等式不保证极限仍严格不同。

4. 夹逼性

• 定理：若 $x_n \le y_n \le z_n$ 且 $\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} z_n = A$，则 $\lim_{n \to \infty} y_n = A$。
• 推论：若 $x_n < y_n < z_n$ 且两边极限均为 $A$，则中间极限也为 $A$。
• 经典例题（图8）：求 $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2+2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}} \right)$
  • 放缩：分母全部放大为 $\sqrt{n^2+n}$，得到下界 $\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}$；分母全部缩小为 $\sqrt{n^2+1}$，得到上界 $\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$。
  • 求两端极限：$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+n}} = 1$，$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+1}} = 1$。
  • 由夹逼定理，原式极限为 1。

配图说明：左图对应本节例题，右图对应 9/28 的求和例题。

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二、 极限的四则运算与无穷量

1. 四则运算法则

设 $\lim_{n \to \infty} x_n = A, \lim_{n \to \infty} y_n = B$，则：

• ① $\lim_{n \to \infty} (x_n \pm y_n) = A \pm B$
• ② $\lim_{n \to \infty} (\alpha x_n) = \alpha A$ （$\alpha$为常数）
• ③ $\lim_{n \to \infty} (x_n \cdot y_n) = A \cdot B$
• ④ $\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{A}{B} \quad (B \neq 0)$
• ⑤ $\lim_{n \to \infty} x_n = A \ge 0 \implies \lim_{n \to \infty} x_n^{\frac{k}{m}} = A^{\frac{k}{m}} \quad (m, k \in \mathbb{N}^+)$

2. 收敛与发散组合的结论

• 若 $\{x_n\}$ 收敛，$\{y_n\}$ 发散，则 $\{x_n \pm y_n\}$ 一定发散。（证明：反证法。若 $x_n+y_n$ 收敛，则 $y_n = (x_n+y_n) - x_n$ 也应收敛，矛盾）。
• 若 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$ 都发散，则 $\{x_n \pm y_n\}$ 不一定发散。（反例：$x_n = n, y_n = -n$，和为 0，收敛）。

3. 无穷小量与无穷大量

• 无穷小量：若 $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$，称 $\{x_n\}$ 为无穷小量。例如 $\{\frac{1}{n}\}, \{(-\frac{1}{3})^n\}$。
• 无穷大量：$\forall M > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N: |x_n| > M$，记作 $\lim_{n \to \infty} x_n = \infty$（或 $+\infty, -\infty$）。
• ⚠️ 核心易错点：无穷大一定无界，但无界不一定无穷大！
  • 反例：$x_n: 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5 \dots$。这个数列无界，但不是无穷大（因为总有部分项等于1，不会一直大于任意给定的 $M$）。
• 无穷小与无穷大的关系：
  • $\lim_{n \to \infty} x_n = 0 \iff \lim_{n \to \infty} \frac{C}{x_n} = \infty$ （$C$ 为非零常数，且 $x_n$ 从某一项起非零；这里 $\infty$ 表示绝对值趋于无穷）
  • $\lim_{n \to \infty} x_n = \infty \iff \lim_{n \to \infty} \frac{C}{x_n} = 0$

配图说明：偶数项任意大仍不足够：无穷大要求所有足够靠后的项都超过阈值。

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三、 经典极限计算例题精讲

1. 与取整函数结合的极限

• 例：已知 $\lim_{n \to \infty} a_n = a$，求 $\lim_{n \to \infty} \frac{[n a_n]}{n}$。
• 解：利用取整函数性质 $x - 1 < [x] \le x$，得到：
  $n a_n - 1 < [n a_n] \le n a_n$
  同除以 $n$：$a_n - \frac{1}{n} < \frac{[n a_n]}{n} \le a_n$
  $\because \lim_{n \to \infty} (a_n - \frac{1}{n}) = a - 0 = a$，且 $\lim_{n \to \infty} a_n = a$。
  $\therefore$ 由夹逼定理，得 $\lim_{n \to \infty} \frac{[n a_n]}{n} = a$。

配图说明：上下界间距为 1/n，故被夹住的取整商具有相同极限。

2. 多项式型（$\frac{\infty}{\infty}$ 型）极限

• 对于 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_0 + a_1 n + \dots + a_k n^k}{b_0 + b_1 n + \dots + b_m n^m}$，只看分子分母最高次幂 $k$ 和 $m$：
  • 若 $k = m$，极限为 $\frac{a_k}{b_m}$。
  • 若 $k < m$，极限为 $0$。
  • 若 $k > m$，极限为 $\infty$。
• 例：$\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2+4n-7}{2n^2-n+12} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + 4/n - 7/n^2}{2 - 1/n + 12/n^2} = \frac{3}{2}$。
• 例：$\lim_{n \to \infty} \frac{5n^3+3n-1}{4n^2-2} = \infty$。

配图说明：左图为本节多项式例题，中图为 n 次方根极限，右图为指数压过线性增长。

3. 根式有理化求极限

• 例：$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+3} - \sqrt{n-1}}{\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}}$
• 技巧：分子分母同乘各自的共轭因式。
  分子有理化：$(\sqrt{n+3} - \sqrt{n-1}) \to \frac{(n+3)-(n-1)}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n-1}} = \frac{4}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n-1}}$
  分母有理化：$(\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}) \to \frac{(n+2)-(n+1)}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}} = \frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}$
  原式 $= \lim_{n \to \infty} \frac{4}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n-1}} \cdot (\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}) = 4 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n-1}}$
  此时分子分母同除以 $\sqrt{n}$，极限为 $4 \times \frac{1+1}{1+1} = 4$。

4. 指数型极限

• 例：$\lim_{n \to \infty} \frac{q^n + 2^n}{q^{n+1} + (-3)^{n+1}}$。
• 解析：板书上分子分母同除以了 $q^n$（这隐含了假设 $|q| > 3$）。
  得到 $\lim_{n \to \infty} \frac{1 + (2/q)^n}{q + (-3) \cdot (-3/q)^n}$。
  因为 $|q| > 3$，所以 $|2/q| < 1, |-3/q| < 1$，极限为 $1/q$。
  （注：如果 $q$ 的绝对值小于 3，则需要分子分母同除以 $(-3)^n$ 来求极限，这是这种题目的通用手法：除以底数绝对值最大的那一项）。

5. 重要极限证明：$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$

• 证明：利用之前学过的A-G不等式结论 $1 \le \sqrt[n]{n} < 1 + \frac{2}{\sqrt{n}}$。
• 由于 $\lim_{n \to \infty} 1 = 1$ 且 $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{\sqrt{n}}) = 1$，由夹逼定理得证。

配图说明：中图显示 n^(1/n) 逼近 1；证明仍使用笔记中的夹逼法。

6. 重要极限证明：$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \quad (a > 0)$

• 分情况讨论：
  • ① 当 $a = 1$ 时，显然成立。
  • ② 当 $a > 1$ 时，$1 \le \sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{a \cdot 1 \cdot 1 \dots 1} \le \frac{a + (n-1)}{n} = 1 + \frac{a-1}{n}$。
    由夹逼定理，$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$。
  • ③ 当 $0 < a < 1$ 时，$\sqrt[n]{a} = \frac{1}{\sqrt[n]{1/a}}$，转化为 $>1$ 的情况，得证。