高数Ⅰ（2026-10-21）

整理说明：以课堂板书为主，按内容衔接合并重复照片；新增的条件提醒、推导、配图及笔误修正均在相应位置注明。

一、 反函数的导数与微分

1. 反函数求导公式的回顾

设 $y=f(x)$ 的反函数为 $x=f^{-1}(y)$，则在对应点有

$$\boxed{(f^{-1})'(y)=\frac1{f'(x)},\qquad y=f(x).}$$

用微分记号写成

$$\frac{dx}{dy}=\frac1{dy/dx},$$

也可以反过来写成

$$\frac{dy}{dx}=\frac1{dx/dy}.$$

补充条件：使用该公式时，应在原函数连续、严格单调的区间上讨论其反函数，并要求原函数在所考察的内点可导且导数非零。公式中的两个导数必须取在相互对应的点。

2. 例：反函数的导数及微分

求

$$y=\ln(\arcsin\sqrt x)$$

的反函数的导数及微分。

解：先求原函数的导数，再取倒数。按照复合层次，

$$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &=\frac1{\arcsin\sqrt x} \cdot\frac1{\sqrt{1-(\sqrt x)^2}} \cdot\frac1{2\sqrt x}\\ &=\frac1{2\sqrt{x(1-x)}\,\arcsin\sqrt x}. \end{aligned}$$

因此

$$\boxed{\frac{dx}{dy}=2\sqrt{x(1-x)}\,\arcsin\sqrt x,}$$

相应的微分为

$$\boxed{dx=2\sqrt{x(1-x)}\,\arcsin\sqrt x\,dy.}$$

补充说明：原函数的定义域为 $0<x\le1$，上述求导计算在 $0<x<1$ 内进行；此时 $dy/dx>0$。板书中的答案用对应的 $x$ 表示反函数的导数，其中 $x=f^{-1}(y)$。若要完全用 $y$ 表示，由 $\arcsin\sqrt x=e^y$ 可得

$$x=\sin^2(e^y),\qquad y<\ln\frac\pi2,$$

从而

$$\frac{dx}{dy}=2e^y\sin(e^y)\cos(e^y),\qquad dx=2e^y\sin(e^y)\cos(e^y)\,dy.$$

二、 隐函数方程求导

1. 基本方法

隐函数方程写成

$$F(x,y)=0.$$

已知方程确定 $y=y(x)$ 时，板书的方法是：方程两端对 $x$ 求导，再解出 $y'$。

补充提醒：这里以所讨论的分支 $y=y(x)$ 可导为前提。求导时，$y$ 应看作 $x$ 的函数；含 $y$ 的复合项不能漏乘 $y'$。最后若要除以 $y'$ 的系数，还需检查该系数非零。

2. 例1：指数函数、三角函数与乘积的复合

方程

$$e^{xy}+\cos(xy)-y^2=0$$

确定 $y=y(x)$，求 $dy/dx$。

解：两端对 $x$ 求导，得到

$$e^{xy}(xy)'-\sin(xy)(xy)'-2yy'=0.$$

其中 $(xy)'=y+xy'$，所以

$$e^{xy}(y+xy')-\sin(xy)(y+xy')-2yy'=0.$$

将含 $y'$ 的项合并，

$$\bigl(xe^{xy}-x\sin(xy)-2y\bigr)y' +ye^{xy}-y\sin(xy)=0.$$

因此，在分母非零处，

$$\boxed{y'=\frac{y\sin(xy)-ye^{xy}}{xe^{xy}-x\sin(xy)-2y}.}$$

补充条件：上式要求 $xe^{xy}-x\sin(xy)-2y\ne0$；分母为零时，不能直接使用这一商式。

3. 例2：根式与反正切的复合

方程

$$\sqrt{x^2+y^2}=e^{\arctan(y/x)}$$

确定 $y=y(x)$，求 $dy/dx$。

解：两端对 $x$ 求导，

$$\frac{2x+2yy'}{2\sqrt{x^2+y^2}} =e^{\arctan(y/x)} \cdot\frac1{1+(y/x)^2} \cdot\frac{xy'-y}{x^2}.$$

利用原方程 $e^{\arctan(y/x)}=\sqrt{x^2+y^2}$，右端化为

$$\begin{aligned} \sqrt{x^2+y^2}\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2} \cdot\frac{xy'-y}{x^2} &=\frac{xy'-y}{\sqrt{x^2+y^2}}. \end{aligned}$$

于是

$$x+yy'=xy'-y,$$

即

$$x+y=(x-y)y'.$$

因此

$$\boxed{y'=\frac{x+y}{x-y}.}$$

补充条件：原方程中的 $y/x$ 要求 $x\ne0$；因此 $\sqrt{x^2+y^2}>0$，上面的约分合法。最后写成商式时还要求 $x-y\ne0$。

4. 例3：隐函数曲线的切线

求曲线

$$x^2y^2+y=1+xe^y$$

在点 $(0,1)$ 处的切线方程。

解：切点为 $P_0(0,1)$，切线斜率为 $k=y'(0)$。方程两端对 $x$ 求导，

$$2xy^2+2x^2yy'+y'=e^y+xe^yy'.$$

代入 $x=0$、$y=1$，得到

$$0+0+y'(0)=e+0,$$

所以

$$k=y'(0)=e.$$

切线方程为

$$\boxed{y-1=e(x-0),\quad\text{即}\quad y=1+ex.}$$

补充核对：$(0,1)$ 满足原方程。合并导数项可得 $(2x^2y+1-xe^y)y'=e^y-2xy^2$，其中 $y'$ 的系数在 $(0,1)$ 处等于 $1\ne0$。

补充图示：蓝线为该隐函数曲线经过 $(0,1)$ 的局部分支，红线为切线 $y=1+ex$。图示仅取切点附近的一段曲线。

三、 参数方程求导

1. 从参数到函数

设曲线由参数方程

$$\begin{cases} x=x(t),\\ y=y(t), \end{cases} \qquad t\in[\alpha,\beta]$$

表示。板书设 $x(t),y(t)\in C^{(1)}[\alpha,\beta]$，且 $x'(t)\ne0$。

由 $x=x(t)$ 的反函数，将参数写成 $t=t(x)$，则

$$y=y(t(x)).$$

根据复合函数及反函数的求导法则，

$$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}\\ &=\frac{dy/dt}{dx/dt} =\frac{y'(t)}{x'(t)}. \end{aligned}$$

因此

$$\boxed{\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}\qquad\bigl(x'(t)\ne0\bigr).}$$

补充说明：$C^{(1)}$ 表示一阶连续可导，沿用课堂记号。上述公式用于区间内点；若 $x'(t)=0$，便不能直接取这个商，需要另行讨论。

2. 例1：求参数曲线的切线

设

$$\begin{cases} x=\ln(1+t^2),\\ y=t-\arctan t, \end{cases}$$

求曲线在 $t=1$ 处的切线方程。

解：先求切点。$t=1$ 时，

$$x=\ln2,\qquad y=1-\frac\pi4,$$

所以

$$P_0\left(\ln2,1-\frac\pi4\right).$$

再求斜率，

$$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &=\frac{(t-\arctan t)'}{[\ln(1+t^2)]'}\\ &=\frac{1-\dfrac1{1+t^2}}{\dfrac{2t}{1+t^2}}\\ &=\frac{\dfrac{t^2}{1+t^2}}{\dfrac{2t}{1+t^2}} =\frac t2\qquad(t\ne0). \end{aligned}$$

因此

$$k=\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=1}=\frac12,$$

切线方程为

$$\boxed{y-\left(1-\frac\pi4\right)=\frac12(x-\ln2).}$$

补充核对：在 $t=1$ 处，$x'(1)=2/(1+1)=1\ne0$，可以使用参数求导公式。注意切点的横坐标是 $\ln2$，不是参数值 $1$。

补充图示：蓝线为参数曲线，箭头表示 $t$ 增大的方向；红线为 $t=1$ 处的切线。图中横纵坐标采用相同比例。

3. 例2：参数方程与隐函数混合求导

设

$$\begin{cases} x=\ln\sin t,\\ y-e^y\sin t=1, \end{cases}$$

求 $dy/dx$。

解：先求 $x'(t)$，再利用第二个方程求 $y'(t)$。

$$x'(t)=\frac{\cos t}{\sin t}=\cot t.$$

第二个方程中的 $y$ 是 $t$ 的函数。对 $t$ 求导，

$$y'(t)-e^{y(t)}y'(t)\sin t-e^{y(t)}\cos t=0.$$

整理得到

$$\bigl(1-e^{y(t)}\sin t\bigr)y'(t)=e^{y(t)}\cos t,$$

所以

$$y'(t)=\frac{e^y\cos t}{1-e^y\sin t}.$$

再代入参数求导公式，

$$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &=\frac{y'(t)}{x'(t)}\\ &=\frac{e^y\cos t}{1-e^y\sin t}\cdot\frac1{\cot t}\\ &=\frac{e^y\cos t}{1-e^y\sin t}\cdot\frac{\sin t}{\cos t}\\ &=\frac{e^y\sin t}{1-e^y\sin t}. \end{aligned}$$

即

$$\boxed{\frac{dy}{dx}=\frac{e^y\sin t}{1-e^y\sin t}.}$$

补充条件：$\ln\sin t$ 要求 $\sin t>0$。求解 $y'(t)$ 时要求 $1-e^y\sin t\ne0$；使用参数求导公式并约去 $\cos t$ 时，还需 $\cot t\ne0$。上述计算在满足这些条件的可导分支上进行。

四、 极坐标方程求导

1. 化为参数方程

对于极坐标方程

$$r=r(\theta),\qquad\theta\in[\alpha,\beta],$$

将 $\theta$ 看作参数，写成

$$\begin{cases} x=r(\theta)\cos\theta,\\ y=r(\theta)\sin\theta. \end{cases}$$

然后使用

$$\frac{dy}{dx}=\frac{y'(\theta)}{x'(\theta)}.$$

补充整理：若 $r$ 在所考察的点可导，按乘积法则展开，有

$$\boxed{\frac{dy}{dx} =\frac{r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta} {r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta},}$$

其中分母 $x'(\theta)=r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta$ 必须非零。

2. 例：四叶玫瑰线的切线

求四叶玫瑰线

$$r=a\sin2\theta\qquad(a>0)$$

在 $\theta=\pi/4$ 处的切线方程。

解：先化为参数方程，

$$\begin{cases} x=a\sin2\theta\cos\theta,\\ y=a\sin2\theta\sin\theta, \end{cases} \qquad\theta\in[0,2\pi].$$

当 $\theta=\pi/4$ 时，

$$\begin{aligned} x&=a\sin\frac\pi2\cos\frac\pi4=\frac{\sqrt2a}{2},\\ y&=a\sin\frac\pi2\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2a}{2}. \end{aligned}$$

因此切点为

$$P_0\left(\frac{\sqrt2a}{2},\frac{\sqrt2a}{2}\right).$$

求斜率，

$$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &=\frac{(a\sin2\theta\sin\theta)'}{(a\sin2\theta\cos\theta)'}\\ &=\frac{a\bigl(2\cos2\theta\sin\theta+\sin2\theta\cos\theta\bigr)} {a\bigl(2\cos2\theta\cos\theta-\sin2\theta\sin\theta\bigr)}. \end{aligned}$$

代入 $\theta=\pi/4$，

$$k=\frac{0+\sqrt2/2}{0-\sqrt2/2}=-1.$$

所以切线方程为

$$\boxed{y-\frac{\sqrt2a}{2}=-\left(x-\frac{\sqrt2a}{2}\right),}$$

即

$$\boxed{x+y=\sqrt2a.}$$

补充核对：$x'(\pi/4)=-\sqrt2a/2\ne0$，因为 $a>0$；因此此处可以用 $dy/dx$ 表示切线斜率。

补充图示：取 $a=1$，蓝线为四叶玫瑰线，红线为 $\theta=\pi/4$ 处的切线 $x+y=\sqrt2$，虚线连接极点与切点。图中横纵坐标采用相同比例；一般的 $a>0$ 对应将图形按比例缩放。

五、 高阶导数

1. 定义与记号

设 $y=f(x)$，在相应的导数存在时，依次求导：

$$y'=f'(x),\qquad (y')'=y''=f''(x),$$

$$(y'')'=y''',\qquad (y''')'=y^{(4)}.$$

一般地，$n$ 阶导数记为

$$\boxed{y^{(n)}=f^{(n)}(x)=\frac{d^ny}{dx^n}.}$$

二阶导数也写成

$$\frac d{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d^2y}{dx^2}.$$

板书笔误修正：照片中上式右端的分母误写为 $dx^3$，这里改为 $dx^2$。对一阶导数再求一次导数，得到的是二阶导数。

规定

$$f^{(0)}(x)=f(x).$$

课堂使用的函数类记号为：

• $f\in D^{(n)}(I)$：$f$ 在区间 $I$ 上 $n$ 阶可导。
• $f\in C^{(n)}(I)$：$f$ 在区间 $I$ 上 $n$ 阶连续可导，特别地，$f^{(n)}\in C(I)$。

补充提醒：$f^{(n)}$ 表示 $n$ 阶导数，不是 $f$ 的 $n$ 次幂。$n$ 阶可导与 $n$ 阶连续可导需要区分，前者不包含第 $n$ 阶导数连续的要求。

2. 例1：$y=e^{ax}$ 的 $n$ 阶导数

解：$a$ 为常数，

$$y'=ae^{ax},\qquad y''=a^2e^{ax},\qquad\ldots$$

每求一次导数，都会再乘以一个 $a$。因此

$$\boxed{y^{(n)}=a^ne^{ax}\qquad(n\ge1).}$$

3. 例2：$y=(ax+b)^\alpha$ 的 $n$ 阶导数

其中 $a,b,\alpha$ 为常数。

解：连续求导，

$$\begin{aligned} y'&=\alpha(ax+b)^{\alpha-1}\cdot a =a\alpha(ax+b)^{\alpha-1},\\ y''&=a\alpha(\alpha-1)(ax+b)^{\alpha-2}\cdot a\\ &=a^2\alpha(\alpha-1)(ax+b)^{\alpha-2}. \end{aligned}$$

依次类推，得到

$$\boxed{y^{(n)} =a^n\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)(ax+b)^{\alpha-n}\qquad(n\ge1).}$$

符号核对说明：照片中乘积的最后一个因子字迹不够清楚；这里按逐次求导的结果整理为 $\alpha-n+1$。第 $n$ 次求导时，指数由 $\alpha-n+1$ 降为 $\alpha-n$，因而乘入的正是 $\alpha-n+1$。

补充适用范围：对一般实数 $\alpha$，可在 $ax+b>0$ 的区间内使用上述公式。若 $\alpha$ 为非负整数，则函数是多项式，在全体实数上有定义；高于其次数的导数直接为零，不在零点使用含负指数的乘积表达式。

4. 幂函数公式的特殊情形

（1）正整数次幂。 取 $\alpha=n$，板书给出

$$\boxed{\bigl[(ax+b)^n\bigr]^{(n)}=a^nn!.}$$

特别地，

$$\boxed{(x^n)^{(n)}=n!,\qquad (x^n)^{(k)}=0\quad(k>n).}$$

补充说明：这里 $n$ 为正整数，$k$ 为大于 $n$ 的整数。第 $n$ 阶导数已经是常数，继续求导便得到零。

（2）倒数。 取 $\alpha=-1$，由于

$$(-1)(-2)\cdots(-n)=(-1)^nn!,$$

可得

$$\boxed{\left(\frac1{ax+b}\right)^{(n)} =\frac{a^n(-1)^nn!}{(ax+b)^{n+1}}\qquad(ax+b\ne0).}$$

特别地，

$$\boxed{\left(\frac1{x-x_0}\right)^{(n)} =\frac{(-1)^nn!}{(x-x_0)^{n+1}}\qquad(x\ne x_0).}$$

补充说明：整数负次幂在底数非零时有定义，所以这两式不要求分母为正，只要求分母非零。

5. 例3：$y=\sin ax$ 的 $n$ 阶导数

补充推导：板书列出了这道题目，现有照片中未拍到其解答。以下补全计算，$a$ 为常数。

逐次求导，

$$\begin{aligned} y'&=a\cos ax,\\ y''&=-a^2\sin ax,\\ y'''&=-a^3\cos ax,\\ y^{(4)}&=a^4\sin ax. \end{aligned}$$

三角函数部分每四次求导循环一次；每次求导还要乘以 $a$。将正负号与正弦、余弦统一写成相位变化，得到

$$\boxed{y^{(n)}=a^n\sin\left(ax+\frac{n\pi}{2}\right)\qquad(n\ge1).}$$

验证其递推关系：若第 $n$ 阶为上述形式，则

$$\begin{aligned} \left[a^n\sin\left(ax+\frac{n\pi}{2}\right)\right]' &=a^{n+1}\cos\left(ax+\frac{n\pi}{2}\right)\\ &=a^{n+1}\sin\left(ax+\frac{(n+1)\pi}{2}\right), \end{aligned}$$

与第 $n+1$ 阶的公式一致。