高数Ⅰ（2026-9-30）

一、 函数在一点极限的定义与解析（图1、图5）

1. 定义（$\epsilon-\delta$ 语言）

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义。若存在常数 $A$，$\forall \epsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，当 $0 < |x-x_0| < \delta$ 时，有 $|f(x)-A| < \epsilon$，则称 $A$ 为当 $x \to x_0$ 时 $f(x)$ 的极限。
记作：$\lim_{x\to x_0} f(x) = A$。

配图说明：图中去掉中心点，强调极限与中心点函数值无关。

2. 去心邻域的几何拆解

$0 < |x-x_0| < \delta \iff 0 < x-x_0 < \delta \text{ 或 } -\delta < x-x_0 < 0 \iff x_0 < x < x_0+\delta \text{ 或 } x_0-\delta < x < x_0$。

配图说明：去心邻域拆成中心点左右两个开区间。

3. 注意事项

• ② $\delta = \delta(\epsilon)$：$\delta$ 依赖于 $\epsilon$，通常 $\epsilon$ 越小，$\delta$ 越小。
• ③ $\delta$ 不唯一：若某 $\delta$ 满足条件，则比它小的任何 $\delta' < \delta$ 也可以作为 $\delta$。

4. 单侧极限（图5）

• 右极限：$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$，当 $0 < x-x_0 < \delta$（即 $x_0 < x < x_0+\delta$）时，$|f(x)-A| < \epsilon$，记为 $\lim_{x\to x_0^+} f(x) = A$。
• 左极限：$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$，当 $-\delta < x-x_0 < 0$ 时，$|f(x)-A| < \epsilon$，记为 $\lim_{x\to x_0^-} f(x) = A$。

配图说明：左右极限必须相等，双侧有限极限才存在。

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二、 函数极限的证明例题与放缩技巧

例题 1（图2、图3）：验证 $\lim_{x\to 1} \frac{x^2-1}{2x^2-x-1} = \frac{2}{3}$

• 分析：$\forall \epsilon > 0$，要使 $|\frac{x^2-1}{2x^2-x-1} - \frac{2}{3}| < \epsilon$。
• 化简与放缩：
  $|\frac{x^2-1}{2x^2-x-1} - \frac{2}{3}| = |\frac{(x+1)(x-1)}{(2x+1)(x-1)} - \frac{2}{3}| = |\frac{x+1}{2x+1} - \frac{2}{3}| = |\frac{3(x+1)-2(2x+1)}{3(2x+1)}| = \frac{1}{3|2x+1|}|x-1|$。
• 限制条件：因为 $x \to 1$，可限制 $0 < |x-1| < 1 \implies 0 < x < 2 \ (x \neq 1)$。此时 $2x+1 > 1 \implies \frac{1}{|2x+1|} < 1$。
• 寻找 $\delta$：所以 $\frac{1}{3|2x+1|}|x-1| \le \frac{1}{3}|x-1| < \epsilon \implies |x-1| < 3\epsilon$。
• 取 $\delta$：取 $\delta = \min(1, 3\epsilon)$。
• 证明：$\forall \epsilon > 0, \text{取 } \delta = \min(1, 3\epsilon), \text{当 } 0 < |x-1| < \delta \text{ 时}, |f(x) - \frac{2}{3}| < \epsilon$。

配图说明：左图对应例题 1，右图辅助下一题的根式极限。

例题 2（图4）：验证 $\lim_{x\to 1} x\sqrt{x+3} = 2$

• 分析：$\forall \epsilon > 0$，$|x\sqrt{x+3} - 2| = |\frac{(x\sqrt{x+3})^2 - 2^2}{x\sqrt{x+3} + 2}| = |\frac{x^3+3x^2-4}{x\sqrt{x+3} + 2}|$。
• 因式分解：分子除以 $(x-1)$ 得到 $(x-1)(x^2+4x+4) = (x-1)(x+2)^2$。
  原式 $= \frac{(x+2)^2}{x\sqrt{x+3}+2}|x-1|$。
• 放缩：限制 $|x-1|<1 \implies 0<x<2 \implies x+2<4 \implies (x+2)^2<16$。分母 $x\sqrt{x+3}+2 > 2$。
  所以 $\frac{(x+2)^2}{x\sqrt{x+3}+2} < \frac{16}{2}=8$。
• 寻找 $\delta$：$8|x-1| < \epsilon \implies |x-1| < \epsilon/8$。
• 证明：取 $\delta = \min(1, \epsilon/8)$ 即可。

例题 3（图7）：验证 $\lim_{x\to \infty} \frac{2x^2}{x^2-3x+4} = 2$

• 分析：$|\frac{2x^2}{x^2-3x+4} - 2| = |\frac{6x-8}{x^2-3x+4}| \le \frac{6|x|+8}{|x^2-3x+4|}$。
• 放缩（找分母下界）：限制 $|x|>4$ 时，$x^2-3x+4 = \frac{1}{2}x^2 + (\frac{1}{2}x^2-3x+4) > \frac{1}{2}x^2$（因为当 $x>4$ 时，$\frac{1}{2}x^2-3x+4 = \frac{1}{2}(x-2)(x-4) > 0$）。
  进一步限制 $|x|>8$ 时，有 $8 \le |x|$。
  所以原式 $\le \frac{6|x|+|x|}{x^2/2} = \frac{7|x|}{x^2/2} = \frac{14}{|x|}$。
• 寻找 $X$：要使 $\frac{14}{|x|} < \epsilon \implies |x| > \frac{14}{\epsilon}$。
• 证明：取 $X = \max(8, \frac{14}{\epsilon})$。当 $|x|>X$ 时，$|f(x)-2| < \epsilon$。

配图说明：左图对应两端的极限；右图取下一题参数 a=1。

例题 4（图8、图9）：验证 $\lim_{x\to +\infty} \frac{x^2+e^{-x}}{x^3-ax+1} = 0 \ (a \in \mathbb{R})$

• 分析：当 $x > 0$ 时，$e^{-x} < 1$，分子 $\le x^2 + 1$。
• 放缩：
  • 限制 $x>1$，则 $x^2+1 < 2x^2$。
  • 分母 $x^3-ax+1 = \frac{1}{2}x^3 + (\frac{1}{2}x^3-ax+1)$。要使 $\frac{1}{2}x^3-ax+1 > 0$，需 $x^2 > 2a$。因为 $a$ 可为负，所以限制 $x > \sqrt{2|a|}$ 时，此式恒成立。
  • 此时分母 $> \frac{1}{2}x^3$。
  • 原式 $< \frac{2x^2}{\frac{1}{2}x^3} = \frac{4}{x}$。
• 寻找 $X$：$\frac{4}{x} < \epsilon \implies x > \frac{4}{\epsilon}$。
• 证明：$\forall \epsilon > 0, \text{取 } X = \max(\sqrt{2|a|}, 1, \frac{4}{\epsilon})$，当 $x > X$ 时，有 $|\frac{x^2+e^{-x}}{x^3-ax+1} - 0| < \epsilon$。

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三、 自变量趋于无穷大时的极限（图6、图11）

1. 定义

设存在 $X_0>0$，使 $f(x)$ 在 $|x|>X_0$ 时有定义，$A \in \mathbb{R}$。$\forall \epsilon > 0, \exists X > 0$，当 $|x| > X$ 时，$|f(x)-A| < \epsilon$。则记 $\lim_{x\to \infty} f(x) = A$。

2. 单侧推广

• 将 $|x|>X$ 改为 $x>X$，则记为 $\lim_{x\to +\infty} f(x) = A$。
• 将 $|x|>X$ 改为 $x<-X$，则记为 $\lim_{x\to -\infty} f(x) = A$。

配图说明：趋于 +∞ 和 −∞ 是两端不同的趋近过程。

3. 定理

$\lim_{x\to \infty} f(x) = A \iff \lim_{x\to +\infty} f(x) = A \text{ 且 } \lim_{x\to -\infty} f(x) = A$。

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四、 无穷小与无穷大（图10、图11）

1. 定义

• 无穷小量：若 $\lim_{x\to x_0} f(x) = 0$，称 $f(x)$ 为 $x \to x_0$ 时的无穷小量。
• 无穷大量：$\forall M > 0, \exists \delta > 0$，当 $0 < |x-x_0| < \delta$ 时，$|f(x)| > M$。称 $f(x)$ 为 $x \to x_0$ 时的无穷大量，记作 $\lim_{x\to x_0} f(x) = \infty$。

2. 无穷小与无穷大的关系定理

• $\lim_{x\to x_0} f(x) = 0 \iff \lim_{x\to x_0} \frac{C}{f(x)} = \infty$ （$C \neq 0$ 为常数，且 $f(x) \neq 0$）。
• $\lim_{x\to x_0} f(x) = \infty \iff \lim_{x\to x_0} \frac{C}{f(x)} = 0$。

配图说明：倒数关系需保证被取倒数的函数非零。

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五、 海涅定理及其推论（图12）

1. 定理（海涅定理/归结原则）

$\lim_{x\to x_0} f(x) = A \iff$ 对任意数列 $\{x_n\}$，若 $x_n\to x_0$，$x_n\ne x_0$ 且所有 $x_n$ 属于 $f$ 的定义域，都有 $\lim_{n\to \infty} f(x_n) = A$。

2. 推论（证明极限不存在的利器）

若存在两个数列 $x_n \to x_0, x'_n \to x_0$ ($n \to \infty$)，使得 $\lim_{n\to \infty} f(x_n) \neq \lim_{n\to \infty} f(x'_n)$，则 $\lim_{x\to x_0} f(x)$ 不存在。

例题精讲（图13）：判断 $\lim_{x\to 0} \sin \frac{1}{x}$ 是否存在

• 解：
  • 取 $x_n = \frac{1}{2n\pi} \to 0 \ (n \to \infty)$，则 $\lim_{n\to \infty} \sin \frac{1}{x_n} = \lim_{n\to \infty} \sin(2n\pi) = 0$。
  • 又取 $x'_n = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}} \to 0 \ (n \to \infty)$，则 $\lim_{n\to \infty} \sin \frac{1}{x'_n} = \lim_{n\to \infty} \sin(2n\pi + \frac{\pi}{2}) = 1$。
  • 因为 $0 \neq 1$，根据推论，所以 $\lim_{x\to 0} \sin \frac{1}{x}$ 不存在。
• （右侧绘图辅助理解：函数在 $x \to 0$ 时在 $[-1, 1]$ 之间无限次振荡，无法收敛于单一值）。

配图说明：两条数列都趋于 0，却产生不同函数值，故函数极限不存在。