高数Ⅰ（2026-10-09）

一、 函数极限的基本性质

设 $\lim_{x\to x_0} f(x) = A$，$\lim_{x\to x_0} g(x) = B$。

1. 唯一性
   $\lim_{x\to x_0} f(x) = A$ 且 $\lim_{x\to x_0} f(x) = B \implies A = B$。
2. 局部有界性
   $\lim_{x\to x_0} f(x) = A \implies \exists \delta > 0, \forall x \in \mathring{U}(x_0, \delta): |f(x)| \le M$。
3. 保号性
   $\lim_{x\to x_0} f(x) = A > 0$（或 $<0$）$\implies \exists \delta > 0, \forall x \in \mathring{U}(x_0, \delta), f(x) > 0$（或 $<0$）。
   推论：若 $\lim_{x\to x_0} f(x) = A > 0$，则 $\exists \delta > 0, x \in \mathring{U}(x_0, \delta)$，有 $f(x) > \frac{A}{2} > 0$。
4. 不等式性
   若 $\lim_{x\to x_0} f(x) = A < \lim_{x\to x_0} g(x) = B \implies \exists \delta > 0$，当 $x \in \mathring{U}(x_0, \delta)$ 时，有 $f(x) < g(x)$。
   推论：若 $f(x) \le g(x), x \in \mathring{U}(x_0)$，则 $\lim_{x\to x_0} f(x) \le \lim_{x\to x_0} g(x)$。

配图说明：有限极限的有界与保号结论描述的是点附近的局部性质。

二、 函数极限的运算法则

若 $\lim_{x\to x_0} f(x) = A$，$\lim_{x\to x_0} g(x) = B$，则：
① $\lim_{x\to x_0} (f(x) \pm g(x)) = A \pm B$；特别地，$\lim_{x\to x_0} (c \cdot f(x)) = c \cdot A$（$c$为常数）。
② $\lim_{x\to x_0} (f(x) \cdot g(x)) = A \cdot B$。
③ $\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} \quad (B \neq 0)$。
④ 若 $\lim_{x\to x_0} f(x) = A > 0$，则 $\lim_{x\to x_0} f(x)^{\frac{k}{m}} = A^{\frac{k}{m}} \quad (m, k \in \mathbb{Z}, m \neq 0)$。
常见例子：$\lim_{x\to x_0} x^3 = x_0^3$；$\lim_{x\to x_0} \sqrt[4]{x} = \sqrt[4]{x_0} \ (x_0 \ge 0)$；$\lim_{x\to x_0} \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x_0}} \ (x_0 > 0)$。

三、 复合函数的极限与重要反例

1. 定理（复合函数极限法则）

设 $y = f(u)$，$u = g(x) \implies y = f(g(x))$。若 $\lim_{u\to u_0} f(u) = A$，$\lim_{x\to x_0} g(x) = u_0$，且当 $x \in \mathring{U}(x_0)$ 时，$g(x) \neq u_0$，则：

$$\lim_{x\to x_0} f(g(x)) = A$$

变量代换：令 $u=g(x)$，则 $\lim_{x\to x_0} f(g(x)) = \lim_{u\to u_0} f(u) = A$。

2. 为什么要求 $g(x) \neq u_0$？（经典反例）

已知 $f(u) = \begin{cases} 1, & u \neq 0 \\ 0, & u=0 \end{cases}$，$g(x) = \begin{cases} 1/q, & x=p/q, p,q \in \mathbb{Z}, q>0, (p,q)=1 \\ 0, & x \in \mathbb{Q}^c \end{cases}$。
复合函数为 $f(g(x)) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \in \mathbb{Q}^c \end{cases} = D(x)$（狄利克雷函数）。
当 $x \to 0$ 时，$g(x) \to 0$，且 $\lim_{u \to 0} f(u) = 1$。但是 $\lim_{x \to 0} f(g(x)) = \lim_{x \to 0} D(x)$ 不存在。
❌ 错误原因：沿着无理数趋近于0时，$g(x)=0$，导致复合函数直接取到了 $f(0)=0$，违背了外层函数极限需满足 $u \neq u_0$ 的前提条件。这就是为什么必须加上 $g(x) \neq u_0$ 这一条件。

配图说明：内层在无理数处取 0，直接读取外层 f(0)，破坏预期复合极限。

四、 极限存在准则

1. 夹逼定理

若 $f(x) \le g(x) \le h(x)$（当 $x \in \mathring{U}(x_0)$），且 $\lim_{x\to x_0} f(x) = \lim_{x\to x_0} h(x) = A$，则 $\lim_{x\to x_0} g(x) = A$。

配图说明：左图为函数夹逼；右图辅助下一节的单侧单调极限。

2. 单调有界准则

① 若 $f(x)$ 在 $(a, a+\delta)$ 上单调有界，则 $\lim_{x\to a^+} f(x) = A$ 存在。
② 若 $f(x)$ 在 $(a-\delta, a)$ 上单调有界，则 $\lim_{x\to a^-} f(x) = A$ 存在。
推论：若 $f(x)$ 在 $\mathring{U}(x_0)$ 内单调且有界，则 $\lim_{x\to x_0^+} f(x)$ 和 $\lim_{x\to x_0^-} f(x)$ 都存在，但两者可能不相等，从而导致双侧极限不存在（如跳跃间断点）。

五、 两个重要极限及经典变形

1. 第一个重要极限：$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

• 几何证明：利用单位圆面积关系 $S_{\triangle AOB} < S_{\text{扇形}AOB} < S_{\triangle AOC}$。
  得到 $\frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan x \implies 1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x} \implies \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$。
  结合 $\lim_{x\to 0} \cos x = 1$ 和夹逼定理得证。
• 推广形式（重要）：若 $\alpha(x)\to0$，且在所讨论的去心邻域内 $\alpha(x)\ne0$，则 $\lim_{x\to x_0} \frac{\sin \alpha(x)}{\alpha(x)} = 1$。
• 常见推论：
  ① $\lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} = 1 \cdot 1 = 1$。
  ② $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{2}{4} \left( \frac{\sin(x/2)}{x/2} \right)^2 = \frac{1}{2}$。
  ③ $\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin x}{x} \stackrel{\arcsin x = t}{=} \lim_{t\to 0} \frac{t}{\sin t} = 1$。

配图说明：参照教材图 2.7 重绘；几何面积比较先取 0<x<π/2。

2. 第二个重要极限：$\lim_{x\to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e$

• 等价变形：令 $\frac{1}{x}=t$，则 $\lim_{t\to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}} = e$。（注意：这是 $1^\infty$ 型不定式）
• 推广形式：
  若 $\lim_{x\to x_0} \alpha(x) = \infty \implies \lim_{x\to x_0} (1+\frac{1}{\alpha(x)})^{\alpha(x)} = e$。
  若 $\alpha(x)\to0$，且在所讨论的去心邻域内 $\alpha(x)\ne0$（底数最终为正），则 \lim_{x\to x_0} (1+\alpha(x))^{\frac{1}{\alpha(x)}} = e$。
• 计算套路示例：
  ① $\lim_{x\to \infty} (1+\frac{1}{-3x})^x = \lim_{x\to \infty} (1+\frac{1}{-3x})^{(-3x) \cdot (-\frac{1}{3})} = e^{-\frac{1}{3}}$。
  ② $\lim_{x\to 0} (1+5x)^{\frac{3}{x}} = \lim_{x\to 0} (1+5x)^{\frac{1}{5x} \cdot 15} = e^{15}$。

配图说明：在 t=0 处表达式无定义，但左右极限同为 e。

六、 无穷小的比较

设 $\lim_{x\to x_0} f(x) = 0$，$\lim_{x\to x_0} g(x) = 0$。

1. 定义

① 高阶无穷小：若 $\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$，则称 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小，记作 $f(x) = o(g(x)) \ (x\to x_0)$。
集合理解：$o(g(x)) = \{ f(x) \mid \lim \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \}$。
例：$\lim_{x\to 0} \frac{x^6}{x^2} = \lim_{x\to 0} x^4 = 0 \implies x^6 = o(x^2)$。
② 同阶无穷小：若 $\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = c \neq 0$，则称 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是同阶无穷小。
③ 等价无穷小：若 $\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$，则称 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小，记作 $f(x) \sim g(x) \ (x\to x_0)$。
④ $k$ 阶无穷小与主部：若 $\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{(x-x_0)^k} = c$（$c \neq 0$），则称 $f(x)$ 是 $k$ 阶无穷小，$c(x-x_0)^k$ 是 $f(x)$ 的主部。

配图说明：左图看数量级，右图看比值；阶的判定必须指定趋近过程。

2. 极限与无穷小的关系

$\lim_{x\to x_0} f(x) = A \implies f(x) = A + \alpha(x)$，其中 $\alpha(x)$ 是无穷小，即 $f(x) = A + o(1)$。
主部的结构推导：$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{(x-x_0)^k} = c \implies \frac{f(x)}{(x-x_0)^k} = c + o(1) \implies f(x) = c(x-x_0)^k + o((x-x_0)^k)$。故主部为 $c(x-x_0)^k$。

3. 等价无穷小替换定理

定理：在同一极限过程中，若 $f(x)\sim g(x)$，相关商有定义，且 $\lim\frac{g(x)\alpha(x)}{\beta(x)}=L$ 存在，则 $\lim\frac{f(x)\alpha(x)}{\beta(x)}=L$。因为原商等于 $\frac{f(x)}{g(x)}\cdot\frac{g(x)\alpha(x)}{\beta(x)}$，其中第一因子趋于 $1$。分母因子的等价替换同理。
应用原则：
① 在乘除结构中，分子或分母的因式可整体替换。如 $\lim \frac{f(x)\alpha(x)}{\beta(x)} = \lim \frac{g(x)\alpha(x)}{\beta(x)}$。
② 非零常数因子可直接求出或提前分离。如若 $\lim f(x) = C \neq 0$，则 $\lim \frac{\alpha(x)}{f(x)\beta(x)} = \frac{1}{C} \lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$。

七、 典型例题解析（图6）

• 因式分解法（$a\ne0$）：$\lim_{x\to a} \frac{x^2-(a+1)x+a}{x^3-a^3} = \lim_{x\to a} \frac{(x-a)(x-1)}{(x-a)(x^2+ax+a^2)} = \frac{a-1}{3a^2}$。当 $a=0$ 时，原式为 $(x-1)/x^2$，在 $x\to0$ 时趋于 $-\infty$。
• 有理化法（处理根式）：$\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}} = \lim_{x\to 4} \frac{2(x-4)}{\sqrt{2x+1}+3} \cdot \frac{\sqrt{x-2}+\sqrt{2}}{x-4} = 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3+3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$。

八、 补充：无穷小运算与常用等价式

1. 无穷小乘有界量（教材 §2.4.2，第 70 页）

若 $\alpha(x)\to0$，且 $h(x)$ 在相应去心邻域内有界，则 $\alpha(x)h(x)\to0$，不要求 $h$ 有极限。例如 $|x\sin(1/x)|\le|x|\to0$，所以 $x\sin(1/x)\to0$。

配图说明：虽然 sin(1/x) 不收敛，振幅 |x| 趋于零仍使乘积收敛。

2. 常用等价无穷小（教材 §2.4.4，第 78–79 页）

当 $u\to0$ 时，在各表达式有定义的范围内：

$$\sin u\sim u,\quad\tan u\sim u,\quad\arcsin u\sim u,\quad\arctan u\sim u,$$

$$\ln(1+u)\sim u,\quad e^u-1\sim u,\quad1-\cos u\sim\frac{u^2}{2},\quad(1+u)^\alpha-1\sim\alpha u\ (\alpha\ne0).$$

三角函数中的角使用弧度。$u$ 可以是趋于零的函数；涉及比值时应保证分母非零，或先作连续延拓。

配图说明：各个比值在 x→0 时趋于 1，体现等价而非恒等。

3. 相减不能直接逐项等价替换（教材例 2.43，第 79–80 页）

$$\tan x-\sin x=\tan x(1-\cos x)\sim\frac{x^3}{2},\qquad\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\frac12.$$

若分别用 $x$ 替换 $\tan x$ 和 $\sin x$，主部相消，会丢掉决定结果的高阶项。

配图说明：差值主部是 x³/2；直接把两项都换成 x 会丢失这一项。

九、 补充：$1^\infty$ 型的统一处理

结合第二个重要极限与 $\ln(1+u)\sim u$：若 $u(x)\to0$、$u(x)v(x)\to L\in\mathbb R$，且底数最终为正，则

$$\lim(1+u(x))^{v(x)}=e^L.$$

当 $u\ne0$ 时，$v\ln(1+u)=uv\cdot\frac{\ln(1+u)}u\to L$；当 $u=0$ 时两边对数均为零。因此允许 $u$ 在部分点取零，只需指数本身有定义。例：$(1+5x)^{3/x}\to e^{15}$。

十、 教材后续预习：连续性与闭区间性质

本节为教材 §2.5–§2.6（第 80–90 页）的预习补充，不代表本次课堂已讲授。

1. 连续性

$$f\text{ 在 }x_0\text{ 连续}\iff\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$$

即函数值存在、有限极限存在，且两者相等。闭区间左端点采用右连续，右端点采用左连续。初等函数在其定义域内的区间上连续，因此在连续点可用直接代入法求极限。

2. 间断点分类

类型	判据	例子
可去间断	左右有限极限相等，函数值缺失或不等于极限	未在 $0$ 处补定义的 $\sin x/x$
跳跃间断	左右有限极限存在但不相等	$\operatorname{sgn}x$ 在 $0$ 处
无穷间断	至少一侧趋于无穷	$1/x$ 在 $0$ 处
振荡间断	至少一侧因振荡无极限	$\sin(1/x)$ 在 $0$ 处

可去和跳跃属于第一类间断点；至少一个单侧有限极限不存在的属于第二类。

配图说明：参照教材 §2.5.2 的分类重绘，分别显示空缺、跳跃、无穷和振荡。

3. 闭区间连续函数的性质

若 $f\in C[a,b]$，则它有界，且能取到最大值和最小值；它能取遍端点函数值之间的每个值，进一步可取遍最小值与最大值之间的每个值。若 $f(a)f(b)<0$，则至少存在一个 $\xi\in(a,b)$ 使 $f(\xi)=0$。
条件不可遗漏：例如 $1/x$ 在 $(0,1)$ 上连续但无界；$x$ 在 $(0,1)$ 上连续有界，却取不到最大值、最小值。零点存在定理保证存在，未必保证唯一。

配图说明：最值、介值和零点存在都需要相应的连续性条件。