高数Ⅰ（2026-9-14）

平时分（作业要交，每节课都要扫码签到）+期中+期末

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“高数是我们交大最难通过的课程，没有之一”

12个学分，“学分最多的一门课程”

$\S1$ 集合与函数

集合的表示：
- 列举法： $A = \{2, 2, 3\}$ 。（注：老师写这个例子是为了强调集合元素的互异性，实际等价于 $A = \{2, 3\}$ ）
- 描述法： $B = \{\text{高个同学}\}$ 。
常用数集符号： $\mathbb{N}$ (自然数集)， $\mathbb{R}$ (实数集)， $\mathbb{Q}$ (有理数集)， $\mathbb{C}$ (复数集)， $\mathbb{Z}$ (整数集)， $\mathbb{R}_+ (\mathbb{R}^+)$ (正实数集)， $\mathbb{Q}_+$ (正有理数集)。
集合关系与运算：
- 子集： $A \subseteq B$ （ $A$ 是 $B$ 的子集）。
- 交与并： $\cap$ （交集）， $\cup$ （并集）。

集合运算：交、并、差、补

配图说明：阴影分别表示交集、并集、差集和补集。

推导符号： $\Rightarrow$ 表示蕴含。 $P\Rightarrow Q$ 意味着 $P$ 是 $Q$ 的充分条件， $Q$ 是 $P$ 的必要条件；不能把箭头本身直接称为“必要性”。
充要条件： $\Leftrightarrow$ （等价，即充分必要条件）。
量词符号： $\exists$ （存在）， $\forall$ （任意）， $\in$ （属于）， $\notin$ （不属于）， $\epsilon$ （希腊字母 epsilon，常用于表示很小的正数）。
经典例题：设 $a, b \in \mathbb{R}$ $a, b \in R$ ，则 $a \le b \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, a < b + \epsilon$ $a \leq b \Leftrightarrow \forall ϵ > 0, a < b + ϵ$ 。
- 证明思路：
  - $\Rightarrow$ （正向）：显然成立（因为 $a \le b < b + \epsilon$ ）。
  - $\Leftarrow$ （反向）：使用反证法。假设 $a > b$ ，令 $\epsilon_0 = \frac{a - b}{2}$ （板书写作取 $0 < \epsilon_0 < a - b$ 或 $\epsilon_0 = \frac{a-b}{2}$ ）。此时 $b + \epsilon_0 < b + (a-b) = a$ ，即 $a > b + \epsilon_0$ ，这与已知条件 $\forall \epsilon > 0, a < b + \epsilon$ 矛盾。
- 推论： $a, b \in \mathbb{R}$ ，若 $\forall \epsilon > 0, |a - b| < \epsilon \Rightarrow a = b$ 。

有理数集定义： $\mathbb{Q} = \{ \frac{n}{m} \mid n \in \mathbb{Z}, m \in \mathbb{Z}_+, (m,n)=1 \}$ 。
有理数的性质：
- 封闭性：有理数的加、减、乘，以及除数非零时的除法，结果仍为有理数。
- 稠密性：任意两个有理数之间，一定存在另一个有理数。
无理数的发现：
- 古希腊数学家 Hippasus (希帕索斯) 发现正方形的对角线（ $\sqrt{2}$ ）无法用两个整数之比表示。
- Weierstrass (魏尔斯特拉斯)：板书右侧画了一个特殊的函数图像，即魏尔斯特拉斯函数（处处连续但处处不可导），这代表了实数系中极其复杂的函数构造。
连续性：实数充满了整个数轴（无缝隙）。右侧画了零点存在定理（介值定理）的几何直观： $f(a) < 0, f(b) > 0 \implies \exists \xi \in (a,b), f(\xi) = 0$ 。

魏尔斯特拉斯函数：有限部分和示意

配图说明：有限部分和仅帮助理解起伏；不能从有限分辨率图像证明处处不可导。

闭区间连续函数的性质

配图说明：零点存在的几何直观需要连续性条件。

邻域：设 $\epsilon > 0$ ，以 $a$ 为中心， $\epsilon$ 为半径的邻域记为 $U(a, \epsilon) = (a - \epsilon, a + \epsilon)$ 。
去心邻域：去掉中心点 $a$ 的邻域。 $\mathring{U}(a, \epsilon) = (a - \epsilon, a + \epsilon) - \{a\}$ 。
单侧邻域：
- 右邻域： $U^+(a, \epsilon) = [a, a + \epsilon)$
- 右去心邻域： $\mathring{U}^+(a, \epsilon) = (a, a + \epsilon)$
- 左邻域： $U^-(a, \epsilon) = (a - \epsilon, a]$
- 左去心邻域： $\mathring{U}^-(a, \epsilon) = (a - \epsilon, a)$
简写： $U(a)$ 和 $\mathring{U}(a)$ 。

区间与去心邻域

配图说明：中心点排除与端点包含，是去心邻域和区间记号的关键。

绝对值与不等式的几何理解

配图说明：距离与向量图帮助理解三角不等式和下一节的 Schwarz 不等式。

公式：设 $a_i, b_i \in \mathbb{R} \ (i=1,2,\dots,n)$ ，有 $(\sum_{i=1}^n a_i b_i)^2 \le (\sum_{i=1}^n a_i^2)(\sum_{i=1}^n b_i^2)$ 。
证明（判别式法）：对任意实数 $t$ ，有 $\sum_{i=1}^n (a_i t + b_i)^2 \ge 0$ 恒成立。
展开得到关于 $t$ 的二次函数： $\sum_{i=1}^n (a_i^2 t^2 + 2a_i b_i t + b_i^2) \ge 0$ ，
即 $(\sum a_i^2)t^2 + 2(\sum a_i b_i)t + \sum b_i^2 \ge 0$ 对任意 $t$ 恒成立。
此二次函数的判别式必须小于等于0，即 $\Delta = [2(\sum a_i b_i)]^2 - 4(\sum a_i^2)(\sum b_i^2) \le 0$ 。
化简即得证。

公式：设 $a_i \in \mathbb{R}_+ \ (i=1,2,\dots,n)$ ，有 $\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n}$ 。
代数平均值 $\ge$ 几何平均值。
证明（柯西归纳法）：先证 $n=2$ $n = 2$ ： $(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2})^2\ge0$ $(a_{1} - a_{2})^{2} \geq 0$ 。
- 若结论对 $n$ 个数成立，将 $2n$ 个数分成两组。分别对每组应用结论，再对两个组均值应用二元不等式，得到 $2n$ 个数的结论。因此结论对所有 $2^k$ 成立。
- 对任意 $n$ ，取 $m=2^k\ge n$ ，记 $A=(a_1+\cdots+a_n)/n$ 。在原来的 $n$ 个数后补上 $m-n$ 个 $A$ ，对这 $m$ 个数应用结论，得到 $A^m\ge a_1\cdots a_n A^{m-n}$ 。因 $A>0$ ，约去得 $A^n\ge a_1\cdots a_n$ 。
- 等号条件：当且仅当所有 $a_i$ 相等。