高数Ⅰ（2026-9-16）

第二讲：确界原理、实数完备性与映射

这一部分利用上一节课学过的 A-G 不等式（算术-几何平均值不等式），进行了一些精妙的“构造”与“放缩”练习，这也是数学分析中极其重要的基本功。

例1（递减数列）：设 $a_n = (1+\frac{1}{n})^{n+1}$ ，证明该数列单调递减（ $a_n \ge a_{n+1}$ ）。
- 证明（A-G 不等式）：对 $n+2$ 个正数，即 $n+1$ 个 $n/(n+1)$ 和一个 $1$ ，有
  $\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}\le\left(\frac{(n+1)\frac{n}{n+1}+1}{n+2}\right)^{n+2}=\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n+2}.$
  两边取倒数，得到 $(1+1/n)^{n+1}\ge(1+1/(n+1))^{n+2}$ 。
- 结论：数列 $(1+\frac{1}{n})^{n+1}$ 单调递减。
例2（递增数列）：设 $a_n = (1+\frac{1}{n})^n$ ，证明该数列单调递增（ $a_n \le a_{n+1}$ ）。
- 证明（A-G 不等式法）：
  将 $a_n$ 拆成 $n+1$ 个因子的乘积： $a_n = (1+\frac{1}{n}) \cdot (1+\frac{1}{n}) \dots (1+\frac{1}{n}) \cdot 1$ （ $n$ 个 $1+\frac{1}{n}$ 和1个 $1$ ）。
  对它们使用 A-G 不等式：
  $a_n \le \left( \frac{n(1+\frac{1}{n}) + 1}{n+1} \right)^{n+1} = \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{n+1} = (1+\frac{1}{n+1})^{n+1} = a_{n+1}$ 。
- 结论：数列 $(1+\frac{1}{n})^n$ 单调递增。（结合上例，这两个数列均收敛于自然常数 $e$ ）。

e 的递增与递减逼近

配图说明：两个离散数列分别从下方和上方逼近同一个 e。

题目：证明 $\sqrt[n]{n} < 1 + \frac{2}{\sqrt{n}}$ （ $n \in \mathbb{N}_+$ ）。
分析（配凑法）： $n=1$ 时 $1<3$ ，直接成立；以下设 $n\ge2$ 。
将 $\sqrt[n]{n}$ 写成 $n$ 个数的乘积，并再次利用 A-G 不等式：
$\sqrt[n]{n} = \sqrt[n]{\sqrt{n} \cdot \sqrt{n} \cdot \underbrace{1 \cdot 1 \dots 1}_{n-2\text{个}}}$
$\le \frac{\sqrt{n} + \sqrt{n} + (n-2)}{n} = \frac{2\sqrt{n} + n - 2}{n} = 1 + \frac{2}{\sqrt{n}} - \frac{2}{n} < 1 + \frac{2}{\sqrt{n}}$ 。

这是实数理论中最核心的公理（确界原理），标志着从高中数学到大学数学分析的重大跨越。

上界：设 $A$ 为数集，若 $\exists M \in \mathbb{R}$ ，使得 $\forall x \in A, x \le M$ ，则称 $M$ 为 $A$ 的一个上界，称 $A$ 为有上界集。
下界：若 $\exists m \in \mathbb{R}$ ，使得 $\forall x \in A, x \ge m$ ，则称 $m$ 为 $A$ 的一个下界。
确界（以上确界 $\beta$ 为例）：
设 $A$ 为非空数集，若 $\exists \beta \in \mathbb{R}$ ，满足以下两点：
① $\forall x \in A, x \le \beta$ （ $\beta$ 是上界）
② $\forall \epsilon > 0, \exists x_0 \in A$ ，使得 $x_0 > \beta - \epsilon$ （ $\beta$ 是所有上界中最小的，即最小上界）
等价表述： $\forall \beta' < \beta, \exists x_0 \in A: x_0 > \beta'$ 。
则称 $\beta$ 为 $A$ 的上确界，记作 $\beta = \sup A$ 。
（同理，下确界记作 $\inf A$ ）。

开闭区间的确界与最值

配图说明：确界存在与能否取到最值是不同问题。

确界存在定理：非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。
实数连续性（完备性）：实数充满了整个数轴，没有缝隙。
- 几何直观：把数轴切开，切点必然是一个实数（戴德金分割的本质）。
- 此定理是实数系区别于有理数系的本质特征（有理数集是不完备的，例如集合 $\{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2\}$ 没有有理数上确界）。

重新用集合论的语言，严谨地定义“函数”。

① 单射（Injection）： $\forall x_1, x_2 \in A, x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$ 。
（不同自变量对应不同的函数值）。
② 满射（Surjection）： $\forall y \in B, \exists x \in A, s.t. f(x) = y$ ，即 $f(A) = B$ 。
（像集（值域） $f(A)$ 等于陪域 $B$ ，即 $B$ 中每个元素都被映射到了）。
③ 双射（Bijection）：若 $f: A \to B$ 既是单射，又是满射，则称 $f$ 为双射（或称 $A$ 与 $B$ 之间一一对应）。