高数Ⅰ（2026-9-20）

一、 函数的四大基本性质

1. 奇偶性（图1、图2）

• 定义：设 $f: (-a, a) \to \mathbb{R}$。
  • 若 $\forall x \in (-a, a)$，有 $f(-x) = f(x)$，则称 $f$ 为偶函数。
  • 若 $\forall x \in (-a, a)$，有 $f(-x) = -f(x)$，则称 $f$ 为奇函数。
• 例题：判断 $f(x) = \lg(x + \sqrt{1+x^2}), \ x \in \mathbb{R}$ 的奇偶性。
  • 解题过程（分子有理化）：
    $f(-x) = \lg(-x + \sqrt{1+x^2}) = \lg\left( \frac{(\sqrt{1+x^2}-x)(\sqrt{1+x^2}+x)}{\sqrt{1+x^2}+x} \right)$
    $= \lg\left( \frac{1}{\sqrt{1+x^2}+x} \right) = -\lg(x + \sqrt{1+x^2}) = -f(x)$。
  • 结论：$\therefore f(x)$ 为奇函数。

配图说明：比较关于 y 轴和关于原点的对称性。

2. 周期性（图2、图3）

• 定义：若 $\exists T > 0$，使 $\forall x \in (-\infty, +\infty)$ 有 $f(x+T) = f(x)$，称 $T$ 为 $f$ 的一个周期，$f$ 为周期函数。
• 通用性质：$f(x+T) = f(x) \implies f(x+nT) = f(x)$，即 $nT$ 也为周期。
• 常见周期：$\sin x, \cos x$ 的周期为 $2\pi$；$\tan x, \cot x$ 的周期为 $\pi$；$|\sin x|$ 的周期为 $\pi$。

🚨 重点强调：狄利克雷函数无最小正周期
这是极其经典的病态函数反例，打破了“周期函数必有最小正周期”的直觉。

• 函数：$D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \in \mathbb{Q}^c \end{cases}$
• 证明：取任意非零有理数周期 $T = \delta \in \mathbb{Q}$。
  • 当 $x \in \mathbb{Q}$ 时，$x+T \in \mathbb{Q}$，故 $D(x) = 1 = D(x+T)$。
  • 当 $x \in \mathbb{Q}^c$ 时，$x+T \in \mathbb{Q}^c$，故 $D(x) = 0 = D(x+T)$。
• 结论：$\therefore T = \delta$ 为一个周期。由于 $\delta > 0$ 不存在最小数（有理数具有稠密性），故该函数没有最小正周期。

配图说明：取绝对值后，负半波翻折成正半波，最小正周期缩短。

配图说明：狄利克雷函数的稠密分布仅作样点示意；任意正有理数都可作为周期。

3. 单调性（图4、图5、图8）

• 定义：设 $f(x), x \in I$。
  • $\forall x_1, x_2 \in I$，若 $x_1 < x_2 \implies f(x_1) \le f(x_2)$，则称 $f$ 为单调递增函数，记 $f(x) \uparrow$（若 $\ge$ 则单调递减，记 $f(x) \downarrow$）。
  • 严格单调：将定义中的 $\le$ 换成 $<$（即 $x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)$）。
• 性质与反例：
  • 若 $f$ 为严格单调函数，则 $f$ 为单射，因此把陪域取为值域 $f(I)$ 时，$f:I\to f(I)$ 是双射，存在反函数。
  • 常值函数 $f(x) = C$ 既单调递增又单调递减。

🚨 重点强调：有反函数但不单调的反例
有反函数的前提是“单射”，但不一定需要单调。

• 反例：$f(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb{Q} \\ -x, & x \in \mathbb{Q}^c \end{cases}$

• 它在 $(-\infty, +\infty)$ 上是双射，反函数为 $f^{-1}(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb{Q} \\ -x, & x \in \mathbb{Q}^c \end{cases} = f(x)$，但该函数在任何区间上都不单调。

• 复合函数单调性（同增异减）：

• ① $f \uparrow, g \uparrow \implies f(g(x)) \uparrow$

• ② $f \downarrow, g \downarrow \implies f(g(x)) \uparrow$

• ③ $f \uparrow, g \downarrow \implies f(g(x)) \downarrow$

• 例：$f(x) = \sin(\cos x), x \in [0, \pi]$。$\cos x \downarrow$，$\sin u$ (在 $u \in [-1,1]$ 时) $\uparrow$，因此 $f(x) \downarrow$。

配图说明：两个稠密样点族分别落在两条直线上，不能将它们画成普通连续曲线。

配图说明：外层 sin 在内层值域 [-1,1] 上递增，因此保持内层的递减方向。

4. 有界性（图7、图8）

• 定义：若 $\exists M \in \mathbb{R}, \forall x \in I \implies f(x) \le M$，称 $f$ 有上界 $M$。（同理有下界 $m$ 定义为 $f(x) \ge m$）。
• 有界：若 $\exists M > 0, s.t. \forall x \in I, |f(x)| \le M$，则称 $f$ 在 $I$ 上有界。
• 无上界定义：$\forall M \in \mathbb{R}, \exists x_0 \in I \implies f(x_0) > M$。
• 举例：
  • $f(x) = \cos x$：$|f(x)| \le 1$，有界。
  • $f(x) = x^2$：有下界 $0$，无上界。

配图说明：有限窗口不能证明全局无界；x² 的无上界由公式随 |x| 增长得知。

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二、 初等函数与三角函数（图10、图11）

1. 基本初等函数分类

• ① 常值函数 $y = C$
• ② 幂函数 $y = x^\alpha$：对任意实指数统一讨论时取 $x>0$，无需排除 $x=1$；具体指数可允许更大的定义域，例如 $x^2$ 定义于 $\mathbb R$。
• ③ 指数函数 $y = a^x \ (a>0, a \neq 1)$
• ④ 对数函数 $y = \log_a x \ (a>0, a \neq 1, x>0)$
• ⑤ 三角函数 $y = \sin x, y = \cos x, y = \tan x, y = \cot x$
• ⑥ 反三角函数

配图说明：幂、指数、对数的代表图像；这里只展示指定区间。

2. 三角函数补充与恒等式（图11）

• 正割与余割：$y = \sec x = \frac{1}{\cos x}$，$y = \csc x = \frac{1}{\sin x}$。
• 恒等式推导：
  • $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \implies 1 + \tan^2 x = \sec^2 x$。
  • 倍角公式：$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x \implies \cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}, \ \sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$。
• 技巧：积化和差，和差化积。

配图说明：单位圆提供三角恒等式直观；竖直渐近线处的函数分支没有连接。

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三、 反三角函数（图12、图13）

1. 定义与反函数求法

• 反正弦：$y = \sin x, \ x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \to [-1, 1]$ 双射 $\implies x = \arcsin y, \ y \in [-1, 1]$。
  • 例题：求 $y = \sin x, x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ 的反函数。
  • 解：平移区间 $\frac{\pi}{2} - \pi \le x - \pi \le \frac{3\pi}{2} - \pi \implies -\frac{\pi}{2} \le x - \pi \le \frac{\pi}{2}$。
  • 利用 $\sin(\pi - x) = \sin x$，有 $y = \sin(\pi - x) \implies \pi - x = \arcsin y \implies x = \pi - \arcsin y$。
• 反余弦：$y = \cos x, x \in [0, \pi] \implies x = \arccos y: [-1, 1] \to [0, \pi]$。
• 反正切：$y = \tan x, x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \to (-\infty, +\infty) \implies x = \arctan y, \ y \in (-\infty, +\infty)$。
• 反余切：$y = \cot x, x \in (0, \pi) \implies x = \text{arccot } y, \ y \in (-\infty, +\infty)$。

配图说明：四个反三角函数采用笔记中的主值区间约定。

2. 反三角函数的奇偶性

• $\arcsin(-x) = -\arcsin x$ （奇函数）
• $\arctan(-x) = -\arctan x$ （奇函数）
• $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$ （非奇非偶）
• $\text{arccot}(-x) = \pi - \text{arccot } x$ （非奇非偶）

3. 经典例题（图13）

• 例：求 $\arcsin(\sin \frac{8\pi}{7})$。
• 解：$\sin\frac{8\pi}{7}=\sin(\pi+\frac\pi7)=-\sin\frac\pi7=\sin(-\frac\pi7)$。由于 $-\pi/7\in[-\pi/2,\pi/2]$，所以

  $$\arcsin\left(\sin\frac{8\pi}{7}\right)=-\frac\pi7.$$

• 注意：$\arcsin(\sin x)=x$ 只在 $x\in[-\pi/2,\pi/2]$ 内成立；其他角必须先折回主值区间。

配图说明：折回主值区间后，8π/7 对应的值为 −π/7。

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四、 初等函数与双曲函数（图14）

1. 初等函数的严格定义

• 定义：基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除或复合运算，且能用一个式子表示的函数，称为初等函数。
• 反例（非初等函数）：分段函数 $y = \begin{cases} \sin(e^x), & 0 < x \le 1 \\ \ln(x+2), & 1 < x \le 2 \end{cases}$ 不是初等函数（无法用一个统一的式子表示）。
• 特例：$y = |x| = \sqrt{x^2}$ 是初等函数。

2. 双曲函数（图14）

• 定义：
  • 双曲正弦：$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
  • 双曲余弦：$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
  • 双曲正切：$\tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{\sinh x}{\cosh x}$
  • 双曲余切：$\coth x = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} = \frac{\cosh x}{\sinh x}$
• 基本恒等式：$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ （注意与三角函数的 $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ 符号不同）。

配图说明：sinh 为奇函数、cosh 为偶函数；coth 在 0 处无定义。