高数Ⅰ（2026-10-14）

一、 连续性与单侧连续（续）

1. 点处连续、左连续与右连续

若函数 $f$ 在 $x_0$ 有定义，且

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0),$$

则称 $f$ 在 $x_0$ 处连续。

单侧连续：

$$\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0) \quad\Longrightarrow\quad f\text{ 在 }x_0\text{ 处右连续},$$

$$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0) \quad\Longrightarrow\quad f\text{ 在 }x_0\text{ 处左连续}.$$

板书中的记号：

$$f(x_0+0):=\lim_{x\to x_0^+}f(x),\qquad f(x_0-0):=\lim_{x\to x_0^-}f(x).$$

因此，在两侧均可趋近的内点 $x_0$，

$$f\text{ 在 }x_0\text{ 连续} \iff f(x_0+0)=f(x_0-0)=f(x_0).$$

即：左极限、右极限、函数值三者相等。

记号提醒：$f(x_0\pm0)$ 不是把 $x_0\pm0$ 当作普通自变量代入，而是单侧极限的简写。板书还用 $f(+\infty)$ 简记 $\lim_{x\to+\infty}f(x)$；这里的 $+\infty$ 也不是定义域中的实数点。

2. 区间上的连续性

若 $f$ 在区间 $I$ 的每一点都连续，则记作 $f\in C(I)$。

闭区间的情形要分清端点：

$$f\in C[a,b] \iff \begin{cases} f\in C(a,b),\\ \displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a),\\ \displaystyle\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b). \end{cases}$$

即：内部连续，左端点右连续，右端点左连续。

例1：分段函数在连接点的连续性

讨论

$$f(x)= \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x},&x<0,\\ 1,&x=0,\\ \dfrac{e^{2x}-1}{x},&x>0 \end{cases}$$

在 $x=0$ 处的连续性。

解：先看函数值 $f(0)=1$。再分别使用两侧对应的表达式：

$$\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}\frac{\sin x}{x}=1=f(0),$$

故 $f$ 在 $0$ 处左连续；

$$\lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{x\to0^+}\frac{e^{2x}-1}{x} =\lim_{x\to0^+}\frac{2x}{x}=2\ne f(0),$$

故 $f$ 在 $0$ 处不右连续，从而不连续，且双侧极限不存在。

配图说明：左图中实际函数值为实心点 $(0,1)$，右侧趋向空心点 $(0,2)$；右图说明取绝对值可能掩盖原函数的符号跳变。

二、 连续性的证明与绝对值极限

例2：证明 $\cos x$ 在实数轴上连续

要证 $\cos x\in C(-\infty,+\infty)$，即对任意 $x_0\in\mathbb R$，有

$$\lim_{x\to x_0}\cos x=\cos x_0.$$

板书放缩：由和差化积以及 $|\sin u|\le1$、$|\sin u|\le|u|$，

$$\begin{aligned} 0\le|\cos x-\cos x_0| &=\left|-2\sin\frac{x+x_0}{2}\sin\frac{x-x_0}{2}\right|\\ &\le2\cdot1\cdot\left|\frac{x-x_0}{2}\right| =|x-x_0|. \end{aligned}$$

因为 $|x-x_0|\to0$，由夹逼定理，$|\cos x-\cos x_0|\to0$，于是 $\cos x\to\cos x_0$。

1. 极限为零时，可以等价地取绝对值

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=0 \iff\lim_{x\to x_0}|f(x)|=0.$$

理由：二者的定义都要求：对任意 $\varepsilon>0$，当 $x$ 充分接近 $x_0$ 且 $x\ne x_0$ 时，$|f(x)|<\varepsilon$。

2. 非零极限取绝对值后，逆命题不一定成立

若 $f(x)\to A$，则 $|f(x)|\to|A|$。板书中的关键估计为

$$\bigl||f(x)|-|A|\bigr|\le|f(x)-A|.$$

但若只知道 $|f(x)|\to|A|\ne0$，不能反推 $f(x)\to A$，甚至不能保证 $f(x)$ 有极限。

补充反例：取 $f(x)=|x|/x$（$x\ne0$），则 $|f(x)|=1$，但 $f$ 在 $0$ 的左右极限分别为 $-1,1$，双侧极限不存在。

三、 间断点的分类

在 $x_0$ 的某去心邻域内有定义，而在 $x_0$ 不连续时，称 $x_0$ 为间断点；课堂也将原函数未定义、但附近有定义的点纳入间断点讨论。

判断顺序：先求左右极限，再比较函数值。

1. 第一类间断点：左右有限极限都存在

设

$$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=A,\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=B, \qquad A,B\in\mathbb R.$$

① 可去间断点：$A=B$，但 $f(x_0)$ 未定义，或 $f(x_0)\ne A$。补定义或重新定义 $f(x_0)=A$ 后，可使函数在该点连续。

② 跳跃间断点：$A\ne B$。左右极限不同，修改单个函数值不能使其连续。

2. 第二类间断点：至少一个单侧有限极限不存在

① 无穷间断点：至少一个单侧极限为 $+\infty$ 或 $-\infty$。

② 振荡间断点：函数在点附近不断振荡，导致至少一个单侧极限不存在。板书以在两个不同值之间无限振动的函数为典型。

补充提醒：无穷型、振荡型是本次列出的典型情形；第二类间断点的总判据仍是“至少一个单侧有限极限不存在”。不能把无穷极限当作有限极限，从而误判为第一类。

配图说明：从左至右为连续、可去、跳跃、无穷与振荡的典型图像。空心点与实心点用于区分附近趋向的值和实际函数值。

例3：四种典型间断

① $f(x)=\sin x/x$，$x=0$。

原函数在 $0$ 未定义，但

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,$$

故为可去间断点。补定义

$$\widetilde f(x)= \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x},&x\ne0,\\ 1,&x=0 \end{cases}$$

后，$\lim_{x\to0}\widetilde f(x)=1=\widetilde f(0)$，从而 $\widetilde f$ 在 $0$ 连续。

② $f(x)=|x|/x$，$x=0$。

$$\lim_{x\to0^+}\frac{|x|}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0^-}\frac{|x|}{x}=-1.$$

左右有限极限存在但不相等，故为跳跃间断点。

③ $f(x)=\tan x$，$x=\pi/2$。

$$\lim_{x\to(\pi/2)^-}\tan x=+\infty,\qquad \lim_{x\to(\pi/2)^+}\tan x=-\infty,$$

故为第二类中的无穷间断点。

④ $f(x)=\sin(1/x)$，$x=0$。

当 $x\to0$ 时，$1/x$ 的绝对值不断增大，函数在 $-1$ 与 $1$ 之间不断振荡，故 $0$ 为振荡间断点。

补充验证：令

$$x_n=\frac1{\pi/2+2n\pi},\qquad y_n=\frac1{3\pi/2+2n\pi},\qquad n\in\mathbb N_+.$$

两列都从右侧趋于 $0$，但 $\sin(1/x_n)=1$、$\sin(1/y_n)=-1$，所以右极限不存在。

例4：同一函数中的可去间断与无穷间断

考察

$$f(x)=\frac{\sqrt[3]{1+4x^2}-1}{x^2(x+1)}$$

的间断点类型。

解：分子在实数轴上有定义，分母为零的点为 $x=0,-1$；其余各点连续。

在 $x=0$，利用 $\sqrt[3]{1+u}-1\sim u/3$，

$$\lim_{x\to0}f(x) =\lim_{x\to0}\frac{4x^2/3}{x^2(x+1)} =\frac43.$$

故 $0$ 是第一类中的可去间断点，补定义 $f(0)=4/3$ 后可使其连续。

在 $x=-1$，分子趋于 $\sqrt[3]5-1>0$，$x^2$ 趋于 $1$，而 $x+1$ 从左右两侧异号趋于 $0$，因此

$$\lim_{x\to-1^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to-1^+}f(x)=+\infty.$$

故 $-1$ 是第二类中的无穷间断点。

注意：板书在这里以“∞”简记无穷型；左右方向展开后如上，不能写成双侧极限为 $+\infty$。

配图说明：左图中 $x=-1$ 是竖直渐近线；右图放大 $0$ 附近的孔洞，函数趋于 $4/3$，原式在 $0$ 未定义。

四、 连续函数的运算与反函数

1. 四则运算

若 $f,g$ 在 $x_0$ 连续，则 $f\pm g$、$fg$ 在 $x_0$ 连续；当 $g(x_0)\ne0$ 时，$f/g$ 在 $x_0$ 连续。

推导示例：

$$\lim_{x\to x_0}(f(x)+g(x)) =f(x_0)+g(x_0)=(f+g)(x_0).$$

乘积、差、商分别使用相应极限运算法则。商的情形中，由连续性和 $g(x_0)\ne0$，分母在足够小的邻域内也非零。

2. 复合函数的连续性

设 $y=f(u)$、$u=g(x)$。若 $g$ 在 $x_0$ 连续，$u_0=g(x_0)$，且 $f$ 在 $u_0$ 连续，并且附近的复合函数有定义，则

$$\lim_{x\to x_0}f(g(x)) =f(g(x_0)) =f\left(\lim_{x\to x_0}g(x)\right).$$

因此 $f\circ g$ 在 $x_0$ 连续。

补充理解：外层在 $u_0$ 连续时，即使内层在某些点恰好取到 $u_0$，也能读取正确的函数值；不需要额外要求 $g(x)\ne u_0$。

板书例：

$$\lim_{x\to0}\cos\left(\frac{3x-5}{2x^2+1}\right) =\cos\left(\lim_{x\to0}\frac{3x-5}{2x^2+1}\right) =\cos(-5).$$

3. 连续严格单调函数的反函数

若 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上连续且严格单调，则反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在其定义域 $f(I)$ 上连续，而且与 $f$ 有相同的单调方向：

• $f$ 严格增加，则 $f^{-1}$ 严格增加。
• $f$ 严格减少，则 $f^{-1}$ 严格减少。

这里 $f^{-1}$ 表示反函数，不是倒数 $1/f$；反函数定义域为原函数的值域。

五、 初等函数的连续性与直接代入法

1. 基本初等函数

板书列举的连续性结论，可以直接写成极限公式：

函数	连续点处的极限及条件
常数函数	$\displaystyle\lim_{x\to x_0}C=C$
幂函数	$\displaystyle\lim_{x\to x_0}x^\alpha=x_0^\alpha$；一般实指数先在 $x_0>0$ 下使用
指数函数	$\displaystyle\lim_{x\to x_0}a^x=a^{x_0}$，$a>0,a\ne1$
对数函数	$\displaystyle\lim_{x\to x_0}\log_a x=\log_a x_0$，$a>0,a\ne1,x_0>0$
三角函数	$\sin x,\cos x$ 在实数轴上连续；$\tan x$ 在 $\cos x\ne0$ 处连续
反三角函数	$\arcsin x,\arccos x$ 在 $[-1,1]$ 上连续；$\arctan x$ 在实数轴上连续

补充范围：$a=1$ 时 $a^x\equiv1$ 也连续；反三角函数的定义域端点采用单侧连续。板书中三角、反三角函数的其余连续性结论同样在各自定义域内使用，例如 $\cot x$ 要求 $\sin x\ne0$。

2. 初等函数的连续性

定理：初等函数在其定义域内连续。课堂计算中，先检查表达式在附近有意义，再利用连续性直接代入。

例：

$$\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{\ln(3+4^x)\,\arctan\sqrt{x+1}}{\sqrt{1+x^2}} &=\frac{\ln(3+4^0)\,\arctan\sqrt{0+1}}{\sqrt{1+0^2}}\\ &=\ln4\cdot\frac\pi4. \end{aligned}$$

条件检查：在 $0$ 附近，$x+1>0$、$3+4^x>0$，且 $\sqrt{1+x^2}>0$，因此各层复合及商都连续。

六、 闭区间连续函数的性质

以下均设 $a<b$，且 $f\in C[a,b]$。本节按板书保留定理陈述及图像理解，课堂照片中未展开这些定理的证明。

1. 有界性定理

$f$ 在 $[a,b]$ 上有界，即

$$\exists M>0,\quad\forall x\in[a,b],\quad |f(x)|\le M.$$

2. 最大值、最小值定理

$f$ 在 $[a,b]$ 上取得最大值和最小值，即

$$\exists x_0,x_1\in[a,b],\quad \forall x\in[a,b],\quad f(x_0)\le f(x)\le f(x_1).$$

其中

$$f(x_0)=\min_{x\in[a,b]}f(x),\qquad f(x_1)=\max_{x\in[a,b]}f(x).$$

重点区分：有界只说值不超过某个范围；取得最大、最小值还要求存在区间内的点，真正取到这些值。

板书反例：$\tan x$ 在 $(-\pi/2,\pi/2)$ 连续，却无界。开区间不满足闭区间条件，不能套用上述结论。

补充反例：$f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上连续且有界，但不取得最大值、最小值。因此即使已经有界，也不能省去“闭区间”等条件。

3. 零点定理

若 $f\in C[a,b]$，且

$$f(a)f(b)<0,$$

则

$$\exists\xi\in(a,b),\quad f(\xi)=0.$$

几何意义：连续曲线从横轴一侧到达另一侧，至少要穿过横轴一次。

4. 介值定理

若 $f\in C[a,b]$，且 $r$ 严格介于 $f(a)$、$f(b)$ 之间，即

$$f(a)<r<f(b)\quad\text{或}\quad f(b)<r<f(a),$$

则

$$\exists\xi\in(a,b),\quad f(\xi)=r.$$

注意：定理只保证至少有一个这样的点，不保证唯一，也不要求 $f$ 单调。板书图像中同一水平线可以与曲线相交多次。

配图说明：左图显示连续函数可以在不同点取到同一个介值，并在闭区间内取到最值；右图对应下例 $3^x-5x$ 的端点异号。

七、 零点定理的应用

例1：证明 $3^x=5x$ 在 $(0,1/2)$ 内有根

解：令

$$f(x)=3^x-5x,\qquad x\in[0,1/2].$$

$f\in C[0,1/2]$，并且

$$f(0)=1>0,\qquad f(1/2)=\sqrt3-\frac52<0.$$

因此 $f(0)f(1/2)<0$。由零点定理，存在 $x_0\in(0,1/2)$，使

$$f(x_0)=0,\qquad\text{即}\quad3^{x_0}=5x_0.$$

故原方程在指定区间内至少有一根。

例2：实系数三次方程至少有一个实根

设 $a,b,c,d\in\mathbb R$，$a\ne0$，证明

$$ax^3+bx^2+cx+d=0$$

至少有一个实根。

板书分析：不妨设 $a>0$；若 $a<0$，将方程两边同乘 $-1$，实根不变。

令 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$。对 $x\ne0$，

$$f(x)=x^3\left(a+\frac bx+\frac c{x^2}+\frac d{x^3}\right).$$

括号内的量在 $x\to\pm\infty$ 时均趋于 $a>0$，故

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.$$

于是可取 $x_0<0<x_1$，使 $f(x_0)<0<f(x_1)$。多项式在 $[x_0,x_1]$ 连续，由零点定理，

$$\exists x^*\in(x_0,x_1),\quad f(x^*)=0.$$

因此 $x^*$ 是原方程的一个实根。

解题模式：先构造连续函数，再找到两个函数值异号的点，最后应用零点定理；不必求出根的具体表达式。

八、 连续性与函数方程：反复开平方

例：设 $f\in C(0,+\infty)$，且对任意 $x>0$，

$$f(x^2)=f(x).$$

证明 $f(x)$ 为常数。

板书思路：反复平方得到 $f(x)=f(x^{2^n})$，但 $x^{2^n}$ 一般不趋于定义域内的同一个点，不能据此完成证明。应改为反复开平方，使自变量趋于 $1$。

证明：对任意固定的 $x>0$，把关系式中的自变量换成 $\sqrt x$，得到

$$f(x)=f(\sqrt x).$$

继续代换，得到

$$f(x)=f(x^{1/2})=f(x^{1/2^2})=\cdots=f(x^{1/2^n}) \qquad(n\in\mathbb N_+).$$

因为

$$x^{1/2^n}=e^{(\ln x)/2^n}\to e^0=1,$$

且 $1\in(0,+\infty)$，$f$ 在 $1$ 连续，所以

$$f(x)=\lim_{n\to\infty}f(x^{1/2^n}) =f\left(\lim_{n\to\infty}x^{1/2^n}\right) =f(1).$$

由于 $x>0$ 任意，故 $f(x)\equiv f(1)$，即 $f$ 为常数。

配图说明：从 $x=4$ 或 $x=1/4$ 出发，反复开平方都趋于 $1$；函数方程保持这些点上的函数值不变，连续性将共同函数值连接到 $f(1)$。

补充观察：这道题实际只用到 $f$ 在 $1$ 处连续，而不需要在每个正实数点都连续；原题的连续性假设当然满足这一要求。