高数Ⅰ（2026-10-16）

一、 导数的引入：切线与瞬时速度

1. 曲线的切线

设曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$，曲线上有定点 $P_0(x_0,y_0)$，其中 $y_0=f(x_0)$；另取动点 $P(x,y)$，其中 $y=f(x)$、$x\ne x_0$。

割线 $P_0P$ 的斜率为

$$k_{P_0P}=\frac{y-y_0}{x-x_0} =\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

当 $P$ 沿曲线趋于 $P_0$，即 $x\to x_0$ 时，若割线斜率趋于一个有限值 $k$，则切线斜率为

$$k=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

几何理解：割线描述两点之间的平均变化率；让两点不断靠近，得到该点处的瞬时变化率。

配图说明：左图以 $y=x^2$ 为例，动点靠近定点时，割线趋于红色切线；右图用同一条曲线区分实际增量 $\Delta y$ 与切线增量 $dy$，对应最后一节的微分。

2. 平均速度与瞬时速度

设运动物体的位置随时间变化的关系为 $S=S(t)$。从时刻 $t_0$ 到时刻 $t$ 的平均速度为

$$\overline v(t)=\frac{S(t)-S(t_0)}{t-t_0}\qquad(t\ne t_0).$$

当 $t\to t_0$ 时，若上述比值有有限极限，则该极限就是物体在 $t_0$ 时刻的瞬时速度：

$$v(t_0)=\lim_{t\to t_0}\frac{S(t)-S(t_0)}{t-t_0}.$$

令 $\Delta t=t-t_0$，也可写成

$$v(t_0)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{S(t_0+\Delta t)-S(t_0)}{\Delta t}.$$

与切线问题对照：在位置—时间图像上，平均速度是两点间割线的斜率，瞬时速度是对应时刻切线的斜率。两者都由“函数增量除以自变量增量，再取极限”得到。

因此，曲线切线与瞬时速度这两个问题共同引出了下一节的导数定义；对位置函数而言，$v(t_0)=S'(t_0)$。

二、 导数的定义、记号与等价形式

1. 点处的导数

设 $f$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义。若极限

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

存在且为有限实数，则称 $f$ 在 $x_0$ 处可导，极限值称为 $f$ 在 $x_0$ 处的导数。

常用记号：设 $y=f(x)$，则

$$f'(x_0) =\left.\frac{df(x)}{dx}\right|_{x=x_0} =\left.y'\right|_{x=x_0} =\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=x_0} =y'(x_0).$$

这里 $f'(x_0)$ 是该点的一个数；$f'(x)$ 则是随 $x$ 变化的导函数。

2. 自变量增量与函数增量

令

$$\Delta x=x-x_0,\qquad \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0),$$

则 $x\to x_0$ 等价于 $\Delta x\to0$。因此

$$\begin{aligned} f'(x_0) &=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h. \end{aligned}$$

注意：取极限过程中 $\Delta x\ne0$、$h\ne0$。差商常呈 $0/0$ 型，不能直接代入零相除。

3. 区间上的可导与导函数

若 $f$ 在区间 $I$ 的各点都可导，则称 $f$ 在 $I$ 上可导，板书记作 $f\in D(I)$；相应导函数为

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h,\qquad x\in I.$$

补充端点约定：若讨论闭区间上的可导性，通常在内点取双侧导数，在端点另行说明所采用的单侧导数。

例1：把差商整理成导数定义

设 $f'(x_0)$ 存在，求

$$\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+2h)-f(x_0-h)}h.$$

解：在分子中加减 $f(x_0)$，

$$\begin{aligned} &\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+2h)-f(x_0-h)}h\\ &=\lim_{h\to0}\left[ \frac{f(x_0+2h)-f(x_0)}h +\frac{f(x_0)-f(x_0-h)}h\right]\\ &=2\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{2h} +\lim_{h\to0}\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h}\\ &=2f'(x_0)+f'(x_0)=3f'(x_0). \end{aligned}$$

关键：分母要与分子中的自变量增量对应；增量为 $2h$ 时配 $2h$，增量为 $-h$ 时配 $-h$。

三、 用定义求基本函数的导数

1. 常数函数

设 $f(x)=C$，则

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{C-C}{\Delta x}=0.$$

故 $C'=0$。

2. 幂函数

先在 $x>0$ 的范围内讨论任意实指数 $\alpha$。固定 $x$，有 $\Delta x/x\to0$；当 $\alpha\ne0$ 时，利用 $(1+u)^\alpha-1\sim\alpha u$，

$$\begin{aligned} (x^\alpha)' &=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(x+\Delta x)^\alpha-x^\alpha}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0} \frac{x^\alpha[(1+\Delta x/x)^\alpha-1]}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\frac{x^\alpha\alpha\Delta x/x}{\Delta x} =\alpha x^{\alpha-1}. \end{aligned}$$

$\alpha=0$ 时函数恒为 $1$，导数为 $0$，与公式一致。

常用形式：

$$(x^n)'=nx^{n-1},\qquad (\sqrt x)'=\frac1{2\sqrt x},$$

$$\left(\frac1x\right)'=-\frac1{x^2},\qquad \left(\frac1{x^n}\right)'=-\frac n{x^{n+1}}.$$

这里 $n\in\mathbb N_+$；平方根求导要求 $x>0$，倒数求导要求 $x\ne0$。正整数幂的公式可在全部实数上使用，$n=1$ 时导数恒为 $1$。

板书例：

$$(x^4)'=4x^3,\qquad (\sqrt[3]{x^2})'=(x^{2/3})'=\frac23x^{-1/3}\quad(x\ne0).$$

补充范围：$x^{2/3}$ 此处按实数立方根理解，负数处也有定义；$x=0$ 处不能直接使用右边的负指数式，须回到定义判断。

3. 对数函数

设 $f(x)=\log_a x$，其中 $a>0,a\ne1,x>0$，则

$$\begin{aligned} f'(x) &=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\log_a(x+\Delta x)-\log_a x}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\log_a(1+\Delta x/x)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x/(x\ln a)}{\Delta x} =\frac1{x\ln a}. \end{aligned}$$

因此

$$(\log_a x)'=\frac1{x\ln a},\qquad (\ln x)'=\frac1x.$$

4. 指数与三角函数

板书接着列出：

$$(a^x)'=a^x\ln a\quad(a>0,a\ne1),\qquad (e^x)'=e^x,$$

$$(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x.$$

补充推导：同样从差商计算，

$$\lim_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^x}h =a^x\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}h =a^x\ln a.$$

三角函数使用和角公式：

$$\frac{\sin(x+h)-\sin x}h =\sin x\frac{\cos h-1}h+\cos x\frac{\sin h}h.$$

其中 $(\cos h-1)/h\to0$，$\sin h/h\to1$，故导数为 $\cos x$。同理，

$$\frac{\cos(x+h)-\cos x}h =\cos x\frac{\cos h-1}h-\sin x\frac{\sin h}h \to-\sin x.$$

四、 单侧导数与不可导点

1. 左导数与右导数

若相应差商的单侧极限存在且有限，则分别定义

$$f'_+(x_0)=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},$$

$$f'_-(x_0)=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

注意二者都减去同一个实际函数值 $f(x_0)$。

定理：$f$ 在内点 $x_0$ 可导，当且仅当左右导数都存在且相等；此时

$$f'(x_0)=f'_+(x_0)=f'_-(x_0).$$

例2：$f(x)=|x|$ 在 $0$ 的可导性

$$f(x)= \begin{cases} x,&x>0,\\ 0,&x=0,\\ -x,&x<0. \end{cases}$$

于是

$$f'_+(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{x-0}x=1,\qquad f'_-(0)=\lim_{x\to0^-}\frac{-x-0}x=-1.$$

左右导数不相等，故 $f$ 在 $0$ 不可导；但 $|x|\to0=f(0)$，所以它在 $0$ 连续。

例3：$y=\sqrt[3]x$ 在 $0$ 的导数

按定义考察差商，

$$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]x-0}{x-0} =\lim_{x\to0}\frac1{x^{2/3}}=+\infty.$$

因此 $y=\sqrt[3]x$ 在 $0$ 不可导，因为通常定义下的导数要求为有限实数。

几何说明：曲线在原点有竖直切线 $x=0$。板书中用“斜率为∞”描述这一情况，它不是一个有限导数值。

板书推广及范围补充：$y=x^\alpha$ 在 $0<\alpha<1$ 时，在 $0$ 右连续，但右侧差商 $x^{\alpha-1}\to+\infty$，不存在有限右导数。若该幂函数在负半轴也有实数定义，可再讨论双侧情形。

配图说明：左图是 $|x|$ 的尖点，左右斜率不同；右图是立方根曲线的竖直切线。两者都在原点连续，但都没有有限导数。

五、 振荡函数：连续与可导的条件不同

例4：含参数的振荡函数

讨论

$$f(x)= \begin{cases} |x|^\alpha\sin\dfrac1x,&x\ne0,\\ 0,&x=0 \end{cases}$$

在 $0$ 的连续性与可导性，其中 $\alpha\in\mathbb R$。

1. 连续性

① $\alpha>0$：

$$|f(x)|\le|x|^\alpha\to0=f(0),$$

所以在 $0$ 连续。

② $\alpha=0$：$f(x)=\sin(1/x)$（$x\ne0$），在 $0$ 振荡，极限不存在，故不连续。

③ $\alpha<0$：不能把“无穷大乘振荡量”当作普通乘法确定极限。按板书选取两列

$$x_n=\frac1{2n\pi},\qquad x'_n=\frac1{2n\pi+\pi/2},\qquad n\in\mathbb N_+.$$

二者均趋于 $0^+$，但

$$f(x_n)=0,\qquad f(x'_n)=(x'_n)^\alpha\to+\infty.$$

所以极限不存在，函数在 $0$ 不连续。

结论：

$$f\text{ 在 }0\text{ 连续}\iff\alpha>0.$$

2. 可导性

因为 $f(0)=0$，差商为

$$\frac{f(x)-f(0)}x=\frac{|x|^\alpha}{x}\sin\frac1x.$$

① $\alpha>1$：

$$\left|\frac{f(x)-f(0)}x\right| \le|x|^{\alpha-1}\to0,$$

所以可导，且 $f'(0)=0$。

② $\alpha=1$：只看右侧，差商为 $\sin(1/x)$，已经没有极限，故不可导。

③ $\alpha<1$：沿上面的两列正数，差商分别为

$$\frac{f(x_n)}{x_n}=0,\qquad \frac{f(x'_n)}{x'_n}=(x'_n)^{\alpha-1}\to+\infty,$$

所以不存在有限导数。

结论：

$$f\text{ 在 }0\text{ 可导}\iff\alpha>1, \qquad\alpha>1\text{ 时 }f'(0)=0.$$

3. 板书中的两个特例

$$g(x)= \begin{cases} x\sin(1/x),&x\ne0,\\ 0,&x=0 \end{cases}$$

在 $0$ 连续，因为 $|g(x)|\le|x|$；但差商 $g(x)/x=\sin(1/x)$ 没有极限，所以不可导。

$$h(x)= \begin{cases} x^2\sin(1/x),&x\ne0,\\ 0,&x=0 \end{cases}$$

在 $0$ 可导，因为 $h(x)/x=x\sin(1/x)\to0$，且 $h'(0)=0$。

配图说明：两者的函数值都趋于零；左图的差商仍振荡，右图的差商被振幅 $|x|$ 压向零。判断可导性要看差商，而不只是看函数值。

六、 可导与连续的关系

定理：$f$ 在 $x_0$ 可导，则 $f$ 在 $x_0$ 连续；逆命题不成立。

板书证明：当 $x\ne x_0$ 时，

$$f(x)-f(x_0) =\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0).$$

取极限，因差商趋于有限值 $f'(x_0)$，得到

$$\lim_{x\to x_0}[f(x)-f(x_0)] =f'(x_0)\cdot0=0.$$

所以 $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，即 $f$ 在 $x_0$ 连续。

反例：前面的 $|x|$、$\sqrt[3]x$ 和补定义后的 $x\sin(1/x)$ 都说明，连续不一定可导。

例5：利用连接点可导求参数

设

$$f(x)= \begin{cases} x\cos\dfrac{\pi x}{2},&x>1,\\ ax^2+b,&x\le1 \end{cases}$$

在 $x=1$ 处可导，求 $a,b$。

第一步：先用连续性确定函数值。

由可导推出连续，

$$\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}x\cos\frac{\pi x}{2}=0,$$

而 $f(1)=a+b$，所以

$$a+b=0,\qquad b=-a,\qquad f(1)=0.$$

第二步：用左右导数相等确定参数。

右导数：

$$\begin{aligned} f'_+(1) &=\lim_{x\to1^+}\frac{x\cos(\pi x/2)-0}{x-1}\\ &=\lim_{x\to1^+}x\frac{\sin[\pi(1-x)/2]}{x-1}\\ &=\lim_{x\to1^+}x\frac{\pi(1-x)/2}{x-1} =-\frac\pi2. \end{aligned}$$

左导数：利用 $b=-a$，

$$f'_-(1)=\lim_{x\to1^-}\frac{ax^2-a}{x-1} =\lim_{x\to1^-}a(x+1)=2a.$$

令 $2a=-\pi/2$，得到

$$\boxed{a=-\frac\pi4,\qquad b=\frac\pi4.}$$

补充检查：代回这两个参数，$f(1)=0$，左右导数均为 $-\pi/2$，故确实在 $1$ 可导。不能只比较两个分支的导数，而漏掉函数值衔接的条件。

七、 切线与法线方程

设 $P_0(x_0,y_0)$ 在曲线 $y=f(x)$ 上，$y_0=f(x_0)$，且 $f'(x_0)=k$ 存在。

1. 切线方程

$$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0).$$

2. 法线方程

法线过切点，并与切线垂直。当 $f'(x_0)\ne0$ 时，法线斜率为切线斜率的负倒数：

$$k_{\mathrm n}=-\frac1k=-\frac1{f'(x_0)},$$

所以

$$y-y_0=-\frac1{f'(x_0)}(x-x_0).$$

符号提醒：法线公式必须保留负号。板书先写出了 $k_{\mathrm n}=-1/k$，下方一般方程中负号不清楚；此处按垂直关系写全，后面的对数函数例也使用负号。

3. 水平、竖直的特殊情形

• 若 $f'(x_0)=0$，切线为 $y=y_0$，法线为 $x=x_0$，不能代入负倒数公式除以零。
• 若曲线在该点有竖直切线，则切线为 $x=x_0$，法线为 $y=y_0$；这需要单独判断，不能将“$f'(x_0)=\infty$”当成通常的可导情形。例如立方根曲线在原点的切线为 $x=0$。

例6：过原点作 $y=\ln x$ 的切线

求从原点向曲线 $y=\ln x$ 所作的切线，以及该切点处的法线方程。

解：设切点 $P_0(x_0,y_0)$，其中 $x_0>0$、$y_0=\ln x_0$。切线斜率为

$$k=(\ln x)'\big|_{x=x_0}=\frac1{x_0}.$$

切线方程为

$$y-\ln x_0=\frac1{x_0}(x-x_0)=\frac x{x_0}-1.$$

因为切线经过原点 $(0,0)$，代入得到

$$-\ln x_0=-1,\qquad\ln x_0=1,$$

所以 $x_0=e$，$y_0=1$，切点为 $P_0(e,1)$，切线斜率为 $1/e$。

因此 切线方程为

$$y-1=\frac1e(x-e),\qquad\text{即}\quad y=\frac xe.$$

法线斜率为 $-e$，故 法线方程为

$$y-1=-e(x-e).$$

配图说明：红线经过原点并在 $(e,1)$ 与对数曲线相切；绿线是该切点处的法线。图中横、纵坐标采用相同单位长度，以显示垂直关系。

八、 微分：用线性部分表示函数增量

1. 可微的定义

设 $f$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义。若存在常数 $A\in\mathbb R$，使

$$f(x)-f(x_0)=A(x-x_0)+o(x-x_0)\qquad(x\to x_0),$$

即

$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) =A\Delta x+o(\Delta x)\qquad(\Delta x\to0),$$

则称 $f$ 在 $x_0$ 处可微。

其中 $A\Delta x$ 是关于自变量增量的线性部分，称为 $f$ 在 $x_0$ 处的微分。

2. 一元函数可微与可导等价

定理：$f$ 在 $x_0$ 可微，当且仅当 $f$ 在 $x_0$ 可导，而且 $A=f'(x_0)$。

板书证明：若可微，则

$$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x).$$

对 $\Delta x\ne0$ 两边同除以 $\Delta x$，得到

$$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=A+o(1).$$

取 $\Delta x\to0$，差商趋于 $A$，所以 $f'(x_0)=A$。

反之，若 $f'(x_0)$ 存在，令

$$r(\Delta x)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)-f'(x_0)\Delta x.$$

则

$$\frac{r(\Delta x)}{\Delta x} =\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}-f'(x_0)\to0,$$

即 $r(\Delta x)=o(\Delta x)$，从而

$$\Delta y=f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x),$$

故 $f$ 在 $x_0$ 可微，且线性部分的系数为 $f'(x_0)$。

3. 微分记号与计算

取自变量的微分 $dx=\Delta x$，则在固定点 $x_0$，

$$dy=f'(x_0)dx.$$

在一般点 $x$，记作

$$\boxed{df(x)=f'(x)dx.}$$

板书例：

$$d(\sin x)=(\sin x)'dx=\cos x\,dx,$$

$$d(x^3)=3x^2dx.$$

区分增量与微分：

$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0),\qquad dy=f'(x_0)\Delta x,$$

$$\Delta y-dy=o(\Delta x).$$

$\Delta y$ 是曲线上的实际纵向变化，$dy$ 是切线给出的线性变化；两者一般不相等。

补充直观例：对 $f(x)=x^2$，

$$\Delta y=2x_0\Delta x+(\Delta x)^2,\qquad dy=2x_0\Delta x.$$

误差 $(\Delta x)^2$ 是关于 $\Delta x$ 的高阶无穷小。因此可用 $f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$ 近似 $f(x_0+\Delta x)$，但不能把近似关系写成一般恒等式。